Все физически различные состояния по квазиимпульсу находится внутри 1 зоны Бриллюэна

Закон дисперсии - в теории волн — это связь частоты и волнового вектора волны:

Этот закон выражает связь временной и пространственной периодичности волны. Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

Дисперсией называют зависимость фазовой скорости волн от частоты или длины волны, или, иначе говоря, в применении к оптике, различие коэффициента преломления определенной среды (например, стекла призмы) от частоты или длины волны света.

Эффективная масса - динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла.

Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона m_e (9, 11× 10^{− 31} кг). Эффективная масса электрона в кристалле, вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме.

Эффективная масса определяется из аналогии со вторым законом Ньютона С помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом поле

где — ускорение,

q — заряд частицы,

— редуцированная постоянная Планка,

— волновой вектор, который определяется из импульса как

энергия частицы связана с волновым вектором законом дисперсии. В присутствии электрического поля на электрон действует сила . Отсюда можно получить выражение для эффективной массы

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае использовать понятие массы можно только вблизи экстремумов кривой закона дисперсии, где эта функция может быть аппроксимирована параболой и, следовательно, эффективная масса не зависит от энергии.

Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором.

Те́ нзор эффекти́ вной ма́ ссы —сложная природа эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса.

20. Проводимость в полупроводниках, концентрация электронов и дырок в собственных полупроводниках. Формулы (без вывода).

Это проводимость, обусловленная только тепловыми переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости. Такая проводимость есть всегда при, но, будучи обычно очень малой, непосредственно наблюдается только в чистых полупроводниках. Чтобы получить формулу для удельной проводимости, надо найти концентрации электронов (n) и дырок (p). Как показывают формулы (6) и (8), для этого необходимо определить энергию Ферми E_F.

Проводимость металлов падает при повышении температуры из-за уменьшения среднего времени свободного пробега τ. Конечно, при росте температуры это время уменьшается и в полупроводниках, но решающее значение в них имеет очень быстрое нарастание концентрации носителей заряда. Поэтому проводимость полупроводников быстро растет с ростом температуры.

Собств. п/п – хим-ки чистый материал, в котором концентрация электронов = концентрации дырок.

др. энергетических уровней нет.

n – конц-я электронов в ЗП.

р – конц-я дырок в ВЗ.

С увел-ем Т большее кол-во эл-ов переходит из Е_v в E_c. Этот процесс наз-ся генерацией. Обратный процесс – регенерация. Наступает т/д равновесие, n = p.

Для собств. п/п:

При n = p = n_i (i – собств)

В реальных матер-ах сущ-ют примеси, и зонная диаграма будет иметь другой вид. Дефекты кристаллической решетки могут играть роль примеси. Для получения эл-го типа проводимости в п/п вводят донорные примеси. Например, в крист. реш-ку Si (iv – вал.) вводят dS (v вал.).

Е_d – локальный ЭУ при донорной примеси. При увелич. Т электроны переходят из Е_d в Е_с.

Е_с - Е_d = Δ Е_d < < Е_g

энергия ионизации

Такой п/п имеет n-тип. Эл-ны – основные носители заряда, дырки – неосновные. Если ввести в Si аS, то получим п/п р-типа. В п/п будет акцепторная примесь.

Вероятность перехода на близ лежащий уровень > чем на дальний р > > n.

Осн-ые носители – дырки, эл-ны – неосновные (эл-ны локализованы в примеси и практически не движ-ся). В п/п может содержатся и донорная и акцепторная примеси одновременно. Такой п/п будет наз-ся скомпенсированным при р = n.

При нагревании будет возникать большее кол-во эл-ов и дырок, концентрация которых будет одинакова.

Концентрация эл-ов в ЗП:

(Верхний предел можем выбрать ∞ -ым т.к. функция Ферми-Дирака быстро спадает).

Приведённая энергия

Интеграл Ферми:

Вводят новую переменную так, чтобы

N_c – Эффективная плотность состояний в ЗП

Аналогичные рассуждения и для дырок:

Пользуются приближениями (невырожденный полупроводник) и (вырожденный).

21. Примесная проводимость в полупроводниках; температурная зависимость от электросопротивления в примесных полупроводниках.

Примесная проводимость полупроводников — электрическая проводимость, обусловленная наличием в полупроводнике донорных или акцепторных примесей.

Примесная проводимость, как правило, намного превышает собственную, и поэтому электрические свойства полупроводников определяются типом и количеством введенных в него легирующих примесей.

Примеси можно разделить на донорные (отдающие) и акцепторные (принимающие).

Температурная зависимость электропроводности невырожденных примесных полупроводников, как и собственных, определяется в основном температурой зависимостью концентрации носителей.

Плавление полупроводника происходит по схеме полупроводник — полупроводник. Температурные зависимости электро- и теплопроводности типичны для собственного полупроводника. Малая величина электропроводности в жидкой фазе, широкая запрещенная зона

22. Методологические основы теории полуполупроводников; сущность ур-ния непрерывности и электронейтральности.

Уравнение непрерывности: Это уравнение описывает процесс изменения концентрации носителей заряда в зависимости от различных факторов. Рассмотрим неравномерное распределение концентрации электронов вдоль оси x в зависимости от времени t: n(x, t). Изменение количества носителей в некотором объеме dx за время dt будет:

генерация линейная рекомб-я изменение потока эл-ов вдоль коодин-ты.

- уравнение непрерывности для электронов.

Введем плотность электрического тока электронов:

В закономерном случае можно заменить на . Уравнение непрерывности можно записать и для дырок, введя плотность электрического тока дырок:

В стационарном случае

Ток возникает по таким причинам:

1. Движение электронов во внешнем электрическом поле – дрейфовый ток.;

2. Разность концентраций электронов – диффузионный ток;

Уравнение электронейтральности:

УЭН для n/n показ-ет, что количество плож. зарядов = к-ву отр. зарядов, n/n-к в целом является электронейтральным. Пусть n/n – к дон. и акц. Примеси.

В ны n_d и p_a не будем учитывать n, k эти величины не несут электрического заряда

n+n_a=p+p_d – у-е электронейтральности

- у-е ЭМ в общ. Виде.

Для п/п-ка n-типа

Для п\п-ка р-типа:

23. Максвелловская релаксация, время релаксации.

Время “рассасывания” флуктуации плотности заряда в однородном проводнике. Предположим, что в некоторый начальный момент времени t = 0 плотность зарядов в проводнике стала отличной от нуля и равняться ρ 0. За счет отличного от нуля ρ возникнет электрическое поле E и электрический ток j, который приведет в конце концов к тому, что спонтанно возникшая флуктуация, как говорят, рассосется.

Для исследования этого вопроса запишем, уравнение непрерывности

∂ ρ ∂ t + div j = 0.

Подставим сюда j = σ E и учтем, что согласно уравнениям Максвелла div E = 4π ρ.

Тогда ∂ ρ ∂ t + σ div E = 0, или ∂ ρ ∂ t + 4π σ ρ = 0.

Решением этого уравнения с начальным условием ρ 0 является функция

ρ (t) = ρ 0e − 4π σ t = ρ 0e − t/τ M.

Время

называется Максвелловским временем релаксации. Оно характеризует то, за какое время в объемном проводнике рассосется флуктуация заряда.

Время релаксации — период времени, за который амплитудное значение возмущения в выведенной из равновесия физической системе уменьшается в e раз (e —основание натурального логарифма), в основном обозначается греческой буквой τ.