По матемтике

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО МАТЕМТИКЕ

«Предел, непрерывность, производная и исследование функций»

Для специальностей:

11122-Технология хлеба, кондитерских и макаронных изделий (ТХ-141)

11123- Технология хлеба, кондитерских и макаронных изделий (ТХ-131)

11124- Технология ММ (ТММ-141)

Новосибирск, 2015

Составил: преподаватель Попов С.Е.

Организация ГАПОУ НСО «НКППиП»

Методические указания.-Новосибирск, 2015 С. 48, рис.3,

список литературы 5 названий.

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Введение…………………………………………………..……...……4

I.Теоретические сведения для индивидуального выполнения контрольной работы.

I.I. Функция. Предел переменной величины. Предел функции………………………………………………….…….5

I.II. Непрерывность функции. Производная. Геометрический и механический смысл производной………………………..22

I.III. Производные некоторых элементарных функций. Производные обратных функций. Основные правила дифференцирования. Таблица формул дифференцирования…...……………………………………..25

I.V. Общий план исследования функций и построение графиков………………………………………………………27

II. Теоретические вопросы для подготовки к зачету (экзамену) по теме: «Предел, непрерывность, производная и исследование функций»……………………………………………………………...31

III. Варианты заданий для контрольной работы. ………………….32

Литература……………………………………………………………39

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания и индивидуальные задания подготовлены студентам заочной формы обучения для выполнения контрольной работы№1 и сдачи зачета (экзамена) по математике. Они включают в себя три части, изучив которые студент овладеет системой знаний и умений в рамках действующей рабочей программы СПО.

В первой части дан краткий теоретический материал с решением типовых задач по темам: «Предел», «Производная и исследование функций». Приведены образцы выполнения контрольных заданий, по ходу решения типичных задач даются необходимые теоретические пояснения и указания.

Во второй части дан список теоретических вопросов, необходимых для подготовки к зачету (экзамену).

Третья часть состоит из десяти заданий контрольной работы№1. Студент должен полностью выполнить задания, оформляя их в тетрадях для контрольных работ. Сроки отчетности по выполнению заданий устанавливаются руководством колледжа, однако в любом случае студент должен выполнить задание за две недели до начала зачетов (экзаменов) по расписанию в соответствии с графиком учебного плана.

Номер варианта определяется по последней цифре номера зачетной книжки. Последняя цифра «0» в номере зачетной книжки соответствует 10-му варианту контрольной работы.

I. Теоретические сведения для индивидуального выполнения контрольной работы.

I.I. Функция. Предел переменной величины. Предел функции.

Понятие функции можно определить как одно из фундаментальных понятий всей математики. Рассматривая частный случай соответствия между двумя множествами различной природы возможно такое соответствие назвать функциональным. Основным признаком такого функционального соответствия является однозначность. Таким образом, функция – это такое соответствие между множеством X и множеством Y, что для каждого элемента x X существует один и только один элемент y Y, при таком соответствии y определим как функцию от x (в символической записи y=f(x)). Элемент y называется значением функции для элемента x (или в точке x) и обозначается f(x). Значение функции f(x) будем также называть словом функция. Переменная x называется независимой переменной или аргументом. Найти совокупность значений x, для которых определяются значения функции y, значит найти область определения функции. Иногда в определении понятия функции допускают, что каждому значению x принадлежащему некоторому множеству, соответствует не одно, а несколько значений y. В этом случае функцию называют многозначной. Существуют различные способы задания функции: 1. Табличный способ задания функции. Способ при котором выписываются в определенном порядке значения аргумента x_{1, …, Xn} и соответствующие значения функции y_{1, …, Yn}.

3. Аналитический способ задания функции. Функция y от x задана аналитически, когда функциональная зависимость y=f(x) такова, что сама функция представляет собой аналитическое выражение. В свою очередь аналитическое выражение определим, как символическое обозначение совокупности известных математических операций, которые производятся в определенной последовательности над числами и буквами. Если x²+1 аналитическое выражение, то y=x²+1 функция заданная аналитически. Примеры функций, заданных аналитически: 1) y = sin x, 2) y = , 3) …

Следует назвать основные элементарные функции заданные аналитически:

1) Степенная функция y=xⁿ, где n – действительное число;

2)Показательная функция y=a^x , где а- положительное число;

3) Логарифмическая функция y = log_ax, где основание логарифмов а – положительное число;

4)Тригонометрические функции;

5) Обратные тригонометрические функции.

Если задать функции такого вида формулой y = f(x), где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятие функции от функции, то так мы определим элементарную функцию. К элементарным функциям отнесем также алгебраические функции вида:

1) Целая рациональная функция или многочлен: y=a₀x+a₁x^n-1+…+aⁿ, где а_0, а₁, …, а_n – постоянные числа (коэффициенты), n – целое неотрицательное число. 2) Дробная рациональная функция: определяется, как отношение двух многочленов.

3) Иррациональная функция: y=f(x), где в правой части производятся операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональными нецелыми показателями. Рассмотренные виды функций не исчерпывают всех возможных алгебраических и других видов функций. И так все функции y = f(x) различных видов объединяет тесная связь аргумента и самой функции, при этом буква f указывает, что над значением x нужно произвести некоторые операции, чтобы получить значение y. Определив таким образом функцию рассмотрим изменение функции при стремлении независимой переменной к некоторому пределу а или к бесконечности. Сначала определим переменную величину стремящуюся к пределу. Определение 1. Постоянное число а называется пределом переменной величины x_n, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа ε можно указать такое значение переменной х_n, что для всех последующих значений переменной будет выполняться условие

ε

Если переменная величина х_n стремится к пределу а, тосимволически такое стремление обозначают:

х_n а или = а
В таком случае переменная величина х_n или последовательность имеет предел равный а, этот предел единственный, говорят, что переменная величина х_n или последовательность сходится к а. Расходится та последовательность, которая не имеет предела.

Пример 1. Переменная величина x_n последовательно принимает значения х_{1 =} , х_{2 =} , х_{3 =} , …, х_{n =} , … Докажем, что ее предел равен единице.

Выберем произвольное значение ε, удовлетворяющее опр. 1, тогда х_{n =} , а = 1. Получим, что

= = .

Для любого ε все последующие значения переменной, начиная с номера n, где или n – 1, будут удовлетворять неравенству ε. То есть переменная величина x_n имеет предел равный единице, при этом возрастая, остается меньше 1. Полученный результат можно записать так: = 1.

Пример 2. Переменная величина х последовательно принимает значения х_{1 = 1+ 1} , х_{2 = 1 +} , х_{3 = 1+} , …, х_{n = 1+ ,} ….

Докажем, что эта переменная величина имеет предел, равный 1.

Имеем х_{n = 1 +} , а = 1, тогда = = _. Для любого ε все последующие значения переменной, начиная с номера n, где _, или n , будут удовлетворять неравенству

. ε. Переменная величина стремится к пределу т.е. к единице оставаясь больше нее. Запишем в символическом виде: =1.

Пример 3. Переменная величина х_n последовательно принимает значения х_{1 = 1} , х₂₌ , х_{3 =} , …, х_{n =} , …

Докажем, что эта переменная величина имеет предел, равный 0.

Рассуждая, аналогично получим = 0. Будем говорить так: предел равен нулю, когда n стремится к бесконечности (n ). В свою очередь, если переменная величина стремится к бесконечности получим х_n . Определение 2. Переменная величина х_n стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение переменной, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству M.

Пример 4. Переменная величина х_n последовательно принимает значения х_{1 = 1} , х_{2= 2} , х_{3 = 3} , …, х_{n =} n, …

Предел переменной величины равен бесконечности точнее плюс бесконечности, так как по опр. 2 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше М.

= .

Рассмотренные примеры являются последовательностями монотонными. Последовательность называется монотонно возрастающей, если при всех n каждый ее член больше предыдущего, соответственно монотонно убывающей называется последовательность, у которой каждый ее член меньше предыдущего. Определение предела дает возможность по заданному числу определять является ли это число пределом для переменной величины или нет. Важно также находить число, которое является пределом переменной величины. Рассмотрим бесконечно малые, бесконечно большие и ограниченные величины. Последовательность называется ограниченной, если все его члены находятся в конечном интервале (-М, +М) и М > 0 такое, что для всех n выполняется неравенство M. Каждая ограниченная монотонная последовательность сходится. В примере 1последовательность ограничена, так как , монотонно возрастая, сходится. Определение 3.Последовательность (переменная величина ) называется бесконечно малой, если lim x_n =0. бесконечно малая, так как lim =0, при n .

Итак, для нахождения предела переменной величины x_n (последовательности ) будем использовать свойства предела суммы, разности, произведения и частного двух и более переменных величин: 1) Если , , то

;

2) Если , , то

;

3) Если , , то

,

4) Если , то , k-любое постоянное.

Теоремы о предельном переходе: 1) Если переменная имеет конечный предел, то для любого действительного ;

2) Если переменная имеет конечный предел, то

;

3) Если а > 0, а принимает только положительные значения и имеет предел, не равный нулю, то

;

4) Если а > 0, а имеет конечный предел, то

.

Решим несколько типовых задач на нахождение предела переменной величины х_n.

Пример 1. Найти предел переменной

x_n = = . Числитель и знаменатель дроби разделили на наивысшую степень . Применим теорему о пределе частного, учитывая, что

, , ,

Предел числителя равен .

Предел знаменателя равен . Учитывая, что предел постоянной величины равен ей самой. Поэтому

= =

= = = .

Пример 2. Найти предел .

= =

= 1 = = 25.

Пример 3. Найти предел .

= = = = = = = = = .

Пример 4. Найти предел .

Поскольку числитель дроби равен: 1-2+3-4+5-6+…-2n =

= (1+3+5+…+(2n-1)) – (2+4+6+…+2n) = = (1+2+3+…+2n) – 2(2+4+6+…+2n) = – 4 = = 2n²+ n – 2n² – 2n = - n.

Здесь используем формулу 1+2+3+…+n = . Получим

= =

= = - .

Ознакомившись с понятием предела переменной величины перейдем к пределу функции. Определение1. Функция y = f(x) стремится к пределу b (y b) при х стремящимся к пределу a (x а), если для любого наперед заданного положительного числа , произвольно малого, можно найти такое положительное число , что для всех х отличных от a и удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство .

М a Y = f(x) Рисунок 2

Функция y = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки a, если f(x) b, при x , то на графике функции рисунка 2 видно, что для всех точек х, отстоящих от точки а не далее чем на , точка М лежит внутри полосы шириной 2 , ограниченной прямыми y = b – и y = b + .

Если f(x) b, при x , то пишут = b. для каждого произвольного положительного числа.

Определение 2. Функция f(x) стремится к пределу b при x , если для каждого произвольно малого положительного числа можно указать такое положительное число N, что для всех х, удовлетворяющих неравенству > N, будет выполняться неравенство < .

Если f(x) b, при x , то пишут = b.

Прежде чем перейти к вычислению предела функции, определим бесконечно малые, бесконечно большие и ограниченные функции.

1) Функция f(x) называется бесконечно малой при x если .

2) Функция f(x) называется бесконечно большой при x если .

3) Функция f(x) называется ограниченной при x если существует такое положительное число М, что для всех значений х из окрестности числа а выполняется неравенство .

Некоторые свойства данных функций:

1) Если функция f(x) бесконечно малая при x а функция u(x) – ограниченная, то их произведение есть функция бесконечно малая. То есть .

2) Если функция f₁(x) и f₂(x) бесконечно малые при x то их сумма, а также разность бесконечно малы. То есть , .

3) Если функция f(x) имеет конечный предел при x а функция v(x) – бесконечно велика, то сумма их бесконечно велика , произведение функций равно , а отношение их бесконечно мало .

4) Если функция f(x) бесконечно малая, положительна в окрестности точки а, при x , а функция u(x) – имеет конечный предел (b > 0), то .

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

1)Если f(x) бесконечно большая функция при x , то функция бесконечно малая.

2) Если (x) бесконечно малая функция при x , то функция бесконечно большая, (x)- не обращается в нуль).

Основные теоремы о пределах.

1) Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных: lim(u_{1 +} u_{2 +…+} u_{n) =} lim(u_{1) +} lim(u_{2) + …+} lim(u_n).

2) Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных: lim(u₁ u_{2 …} u_{n) =} lim(u₁₎ lim(u_{2) …} lim(u_n).

3) Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля. Lim ₌ , если lim v 0.

4) Если между соответствующими значениями трех функций u =u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u z v, при этом u =u(x) и v=v(x) при x a (или при x ) стремятся к одному и тому же пределу, то z = z(x) при x a (или при x ) стремится к тому же пределу.

5) Если между соответствующими значениями двух функций u =u(x) и v = v(x) стремящихся к пределам при x a (или при x ) выполняется неравенство u v, то имеет место limu lim v.

6) При постоянном показателе степени можно переходить к пределу в основании степени при условии, что предел основания степени существует. То есть

7) Если существует предел А, где А > 0, то .

8) Функция стремится, при к пределу e:

= e.

Рассматривая предел целой рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением. Если P(x) = , то .

Аналогично для дробно-рациональной функции. Если F(x) = , то , при Q(x) 0.

Пример 1. Найти

16 – 12 – 8 + 5 = 1.

Пример 2. Найти .

= 2.

Пример 3. Найти предел .

Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Разделив числитель и знаменатель дроби на , получим возможность применить теорему о пределе дроби. С учетом того, что при x – стремится к нулю, соответственно и тоже стремятся к нулю, тогда:

= = .

Пример 4. Найти .

Числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, при x , поэтому применим тождественное преобразование: = = =4.

Пример 5. Найти .

= = =

= = .

Пример 6. Найти .

Числитель и знаменатель имеют своим пределом нуль. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения в случае, когда предел числителя и знаменателя дроби равен нулю, нужно перенести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот, сделав необходимые упрощения перейти к пределу.

= =

= = = .

Пример 7. Найти .

Числитель и знаменатель дроби при имеют предел равный нулю. Предел представляет отношение двух бесконечно малых функций, так же под знаком предела имеется разность тригонометрических функций, ее нужно преобразовать в произведение по известным формулам тригонометрии.

= = = = =

= =

= = = - .

Пример 8. Найти .

Числитель и знаменатель, бесконечно малые функции, для отыскания предела воспользуемся замечательным пределом 1.

= = = 0.

Пример 9. Найти

= = = = = 1.

Пример 10. Найти

Предел переменной величины называется числом е: e = .

= =

= = e e e = .

Основные сведения о сравнении бесконечно малых величин.

Пусть f(x) и (x) – бесконечно малые при x (или при x ), тогда:

1) Если 0, то функция f(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости, по сравнению с функцией (x), а функция (x) называется бесконечно малой функцией низшего порядка малости, по сравнению с функцией f(x).

2) Если , то функция f(x) называется бесконечно малой функцией низшего порядка малости, по сравнению с (x), а (x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости, по сравнению с функцией f(x).

3) Если , и А 0, то бесконечно малые функции f(x) и (x) называются бесконечно малыми одного и того же порядка.

4) Если , то бесконечно малые функции f(x) и (x) называются эквивалентными. Т.е. f(x) (x).

5) Если , и А 0, то бесконечно малая функция f(x) называется бесконечно малой k-го порядка малости, по сравнению с бесконечно малой функцией (x).

Пример 1. Доказать, что при x функция , где k > 1, бесконечно малая высшего порядка, чем x.

= = 0, так как по условию k – 1> 0.

Пример 2. Найти .

Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую из них или какую либо одну заменить эквивалентными им. Заменяя эквивалентной ей бесконечно малой 3х получим:

= = = 3.

I.II. Непрерывность функции. Производная. Геометрический и механический смысл производной.

Определение 1.Функция y = f(x) называется непрерывной при значении x = x₀ (или в точке х₀), если она определена в некоторой окрестности точки x₀ (очевидно и в самой точке х₀) и если

= 0.

Или = 0,

= f( ),

Условие непрерывности можно записать и так:

= f( ).

Пример 1. Докажем, что функция y = x² непрерывна в произвольной точке . Действительно,

= , + = , = – ,

= + = +

+ = 0 при любом способе стремления к нулю.

Определение производной. Производной функции f(x) по независимой переменной x называется предел, к которому стремится отношение приращения функции y к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

То есть если аргумент х получит некоторое приращение x, тогда функция получит некоторое приращение y.

При значении аргумента х будем иметь y = f(x).

При значении аргумента х+ х будем иметь y+ y = f(х+ х). Найдем приращение функции y:

y = f(х+ х) - f(х).

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

= .

Найдем предел этого отношения при х 0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) и обозначают f ʹ (x).

F ʹ (x) = .

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке

х = х ₀ , то она в этой точке непрерывна.

Возможны другие обозначения производной:

y ʹ, , .

Пример 1. Дана функция y = x². Найдем производную y ʹ:

1) В произвольной точке х,

2) В точке х = 3.

Решение.

1) При значении аргумента, равном х, имеемy = x². При значении аргумента равном х+ х, имеем y+ y=f .

Находим приращение: y = – x² = 2x + .

Составляем отношение : = = 2x + х.

Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:

y ʹ = = )= 2x.

2) При х = 3 получим: y ʹ _х=3 = 6.

Механическое значение производной можно определить так, что если средняя скорость движения за время t вычисляется по формуле:

= .

Истинная скорость движения в момент времени t по определению, есть предел, к которому стремится средняя скорость за время t, при t 0. Тогда скорость в момент времени t определяется равенствами

V = = .

Геометрическое значение производной.

Производная от функции f(x), вычисленная при заданном значении х, равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси Ох и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х.

I.III. Производные некоторых функций. Производные обратных функций. Основные правила дифференцирования Таблица формул дифференцирования.

Таблица основных формул дифференцирования.

, y ʹ =0.

Степенная функция:

, y ʹ = ;

в частности,

, y ʹ = ;

, y ʹ = - .

Тригонометрические функции:

, y ʹ = ,

, y ʹ = - ,

, y ʹ = ,

, y ʹ = - .

Обратные тригонометрические функции:

, y ʹ = ,

, y ʹ = - ,

, y ʹ = ,

, y ʹ =- .

Показательная функция:

, y ʹ = ;

В частности,

, y ʹ = .

Логарифмическая функция:

, y ʹ =

в частности

, y ʹ = .

Общие правила дифференцирования:

, y ʹ = (C – постоянная),

, y ʹ = + + ,

, y ʹ = ,

, y ʹ = ,

y=f(u),

u=φ (x), = ,

, y ʹ = .

Если y = f(x), x = (y), где f и – взаимно обратные функции, то

f ʹ (x) = , где y = f(x).

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Аналогично можно определить производные различных порядков.

Пример 1. Найти производную .

Y ʹ = = 4 .

Пример 2. Найти производную .

= 12 (1 + 2 <