Распределительным закон

Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

· Например:

· 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77

· a * (b + c) = ab + ac

Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

· Например:

· 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Законы умножении распространяются на любое количество множителей в числовом или буквенном выражении. Распределительный закон умножения используется для вынесения общего множителя за скобки.

Правило. Чтобы преобразовать сумму (разность) в произведение, достаточно вынести за скобки одинаковый множитель слагаемых, а оставшиеся множители записать в скобках суммой (разностью).

· Например:

· 7 * 8 — 7 * 5 = 7 * (8 — 5)

· аЬ + ас = а * (Ь + с)

Вынесение множителя за скобки для больших числовых или буквенных выражений можно производить по группам слагаемых.

· Например:

· 3 * 6 + 9 * 6 — 4 * 8 = 6 * (3 + 9) — 4 * 8

· ab + bc — df -af = b * (a + c) — f * (d + a)

· c * (a + b) — d * (a + b) = (a + b) * (c — d)

Вопрос 23. Понятие высказывательной формы (предиката). Область определения и множество истинности предиката. Обращение предикатов в высказывания с помощью кванторов общности и существования. Построение отрицаний таких высказываний.

Высказывательные формы (предикаты), так же как и высказывания, бывают элементарными и составными. Составные высказывательные формы образуются из элементарных при помощи тех же логических связок, которые используются в составных высказываниях. Пусть на множестве Х задана высказывательная форма А(х). Отрицанием высказывательной формы (предиката) А(х), заданной на множестве Х, называется высказывательная форма Ā (х), заданная на том же множестве, которая истинна при тех значениях х Î Х, при которых данная форма А(х) ложна, и, наоборот, ложна при тех значениях х Î Х, при которых данная форма А(х) истинна. Обозначение Ā (х) читаем: «Неверно, что А от х» или «Не А от х». Если предложение содержит одну переменную, оно называется одноместным предикатом. Для обозначения одноместных предикатов используют символы: А(х), В(х), Р(х), Q2(х) и так далее. Слово «предикат» происходит от латинского «ргеdicate» (сказуемое). П р и м е р 2. Рассмотрим предложение: «2х – 4 > 0». Истинно оно или ложно? Мы не можем ответить на этот вопрос. Это не есть высказывание. Но если вместо х поставить некоторое число, например 3, то мы получим истинное высказывание: «2 ∙ 3 – 4 > 0». Если вместо х поставить 1, то мы получим ложное высказывание: «2 ∙ 1 – 4 > 0». Исходное предложение содержит букву х и при подстановке вместо х некоторого числа, получаем высказывание. Данное предложение является одноместным предикатом. Множество значений X которое принимает переменная х, называется областью определения предиката А(х). Совокупность Т значений переменной х, при которых предикат А(х), принимает истинные значения, называется множеством истинности предиката А(х). В примере 2 область определения X = R, а область истинности

Высказывания «для всех х» (для любого х, для каждого х) называется квантором общности и обозначается х. Высказывание «существует х» (для некоторых х, хотя бы для одного х, найдется такое х) называется квантором существования и обозначается х. Высказывание «существует одно и только одно х» (для единственного значения х) называется квантором единственности: ! х.

Например: «Все кустарники являются растениями». Это высказывание содержит квантор общности («все»). Высказывание «существуют числа, кратные 5» содержит квантор существования («существуют»).

Если не каждая переменная связывается квантором, то получается не высказывание, а предикат, зависящий от той переменой, которая не связана квантором. Так, если перед предикатом Р(х; у) поставить квантор у, то получим предикат ( у Y) Р(х; у), зависящий от переменной х.

Если какое-либо предметное переменное в формуле не связано квантором, то его называют свободным переменным. Например: ( х) ху=ух. Здесь переменное у не связано каким-либо квантором, поэтому оно свободно. От него не зависит истинность данного высказывания.

Кванторы ( х) ( х) называются двойственными друг другу.

В связи с введением кванторов необходимо учесть следующее:

1. Формула логики предикатов не может содержать одно и то же предметное переменное, которое было бы связано в одной части формулы и свободно в другой.

2. Одно и то же переменное не может находиться в области двойственных друг другу кванторов.

Нарушение этих условий называют коллизией переменных. Для доказательства утверждения с квантором общности необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений х в предикат Р(х) последний обращается в истинное высказывание. Если множество Х конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество Х бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде.

Высказывание ( х) Р(х) ложно, если можно указать такое значение а Х, при котором Р(х) обращается в ложное высказывание Р(а). Поэтому, для опровержения высказывания с квантором общности достаточно привести пример.

Высказывание ( х) Р(х) истинно, если можно указать такое значение а Х, при котором Р(х) обращается в истинное высказывание Р(а). Поэтому, чтобы убедиться в истинности высказывания кванторомсуществования, достаточно привести пример и таким образом доказать.

Для того чтобы убедиться в ложности высказывания с квантором существования ( х) Р(х), необходимо убедиться в ложности каждого высказывания Р(х ), Р(х ), …, Р(х ). Если множество Х конечно, то это можно сделать перебором. Если же множество Х бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде. Примеры:

1. Найти значение истинности высказывания «средичисел 1, 2, 3, 4 найдется простое число».

Решение: Высказывание содержит квантор существования и поэтому может быть представлено в виде дизъюнкции высказываний: «1 – простое число» или «2 – простое число» или «3 – простое число» или «4 – простое число». Для доказательства истинности дизъюнкции достаточно истинности хотя бы одного высказывания, например, «3 – простое число», которое истинно. Следовательно, истинно и исходное высказывание.

Для построения отрицания высказывания с кванторами надо:

1) квантор общности заменить квантором существования, а квантор существования – квантором общности;

2) предикат заменить его отрицанием.

Пример. Сформулируем отрицание для следующих высказываний:

а) все элементы множества Z четные; b) некоторые глаголы отвечают на вопрос «что делать?».

Решение: а) Заменим квантор общности квантором существования, а высказывание его отрицанием: некоторые элементы множества Z нечетные.

b) Заменим квантор существования квантором общности, а выражение его отрицанием: все глаголы не отвечают на вопрос «что делать?».

Вопрос 25. Невозможность деления на нуль (с доказательством). Правила деления суммы, произведения на число, числа на произведение (с доказательством). Понятие деления с остатком.

С точки зрения алгебры, делить на ноль нельзя, так как это не имеет никакого смысла. Возьмём два произвольных числа, a и b, и умножим их на ноль. a × 0 равно нолю и b × 0 равно нолю. Получается, что a × 0 и b × 0 равны, ведь произведение в обоих случаях равно нолю. Таким образом, можно составить уравнение: 0 × a = 0 × b. А теперь предположим, что мы можем делить на ноль: разделим обе части уравнения на него и получим, что a = b. Получается, что если допустить операцию деления на ноль, то все числа совпадают. Но 5 не равно 6, а 10 не равно ½. Теорема: Деление на нуль невозможно.

Доказательство: Пусть а Î N, а в = 0.

1. Если а ≠ 0 и частное а и в существуют, тогда найдется с Î Z0, что а= с• 0, Þ а = 0. Мы пришли к противоречию с условием Þ частное чисел а ≠ 0 и в = 0 не существует. 2. Если а = 0 и частное а = 0 и в = 0 существует, тогда найдется с Î Z0 и выполняется равенство 0 =с• 0, истинное при любых значениях с Þ частноеа = 0 и в = 0 может быть любым числом Î Z0, т.е. результат деления определяется не единственным образом, а это невозможно. Поэтому в математике считают, что деление на 0 также невозможно. Если число а получено в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А), то это же число может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В: а = n(В). Число же «нуль» с теоретико-множественной позиции рассматривается как число элементов пустого множества 0 = n (ø). Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1 начинается в 3 классе (1–4) с включения в ряд предложенных примеров вида: 0 • 8; 1 • 5; 0 • 18 и т.д. Эти примеры дети решают на основе конкретного смысла умножения путем сложения одинаковых слагаемых, например: 0 • 8 = 0+0+0+0+0+0+0+0 = 0 или 1 • 5 = 1+1+1+1+1 = 5

1. Деление суммы. (a + b): c = a: c + b: c.

Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить. Пример:

(545 + 75): 5 = 545: 5 + 75: 5 = 109 + 15 = 124.