Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , зависящая от х и произвольных постоянных , обращающая это уравнение в тождество.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, которое получается из общего, если придать определённые значения произвольным постоянным, т.е. решение вида , где – фиксированные числа.

Задача Коши для ДУ второго порядка: найти решение ДУ второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям: , .

Если уравнение разрешимо относительно старшей производной, то его можно представить в виде

. (1)

Общее решение уравнений вида

(2)

находится двукратным интегрированием (при этом учитывается, что ).

Общее решение уравнений вида

(3)

(4)

находится с помощью подстановки .

Общее решение уравнений вида

(5)

(6)

находится с помощью подстановки .

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение. Это уравнение вида (2). Выполним двукратное интегрирование:

;

;

;

;

;

;

;

.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Стр. 1

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Это уравнение вида (5). Введём замену: . Тогда:

;

;

;

;

;

;

;

;

.