Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Обыкновенные дифференциальные уравнения






 

Основные понятия

 

Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

(1)

связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у (х) и ее производные

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

 

Пример 1. Примерами дифференциальных уравнений первого порядка являются: xy ¢ + sin x × y = 0, yy ¢ + (x 2 + y 2) y ¢ = ex; дифференциальных уравнений второго порядка являются: y ¢ ¢ + y ¢ sin x + y = 1, y ¢ ¢ + y¢ – 2 = cos x; дифференциальных уравнений третьего порядка являются: и т. д.

Решением дифференциального уравнения (1) называется такая дифференцируемая функция y = j(x), которая вместе со своими производными при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция y = j(x; C 1; C 2; ¼; Cn), которая зависит от переменной x и n независимых произвольных постоянных C 1, C 2, ¼, Cn и вместе со своими производными обращает уравнение (1) в тождество.

Если решение задано в неявном виде j(х; у) = 0, то оно называется интегралом уравнения (1).

Общее решение, заданное в неявном виде F (x; y; C 1; C 2; ¼; Cn) = 0, называется общим интегралом уравнения. Частным решением уравнения (1) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным C 1, C 2, ¼, Cn определенные числовые значения.

Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка формулируется следующим образом: найти частное решение y = y (x) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

 

Пример 2. Проверить, является ли функция y = Cx 3 решением дифференциального уравнения 3 yxy ¢ = 0.

Решение

По условию: y = Cx3. Дифференцируя по переменной x, получаем y¢ = (Cx3)¢ = 3Cx2. Подставляя выражения y и y¢ в данное дифференциальное уравнение, получаем тождество 3Cx3 – x × 3Cx2 = 0. Следовательно, функция y = Cx3 является общим решением дифференциального уравнения 3y – xy¢ = 0.

 

Пример 3. По общему решению y = Cx3 некоторого дифференциального уравнения найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = 3.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.