Тройной интеграл

Пусть фигура Ф – область V Ì R ³, ограниченная замкнутой поверхностью. Мерой μ такой фигуры является его объем v, т. е. μ = v. Обозначим также Δ μ _i = Δ v_i и λ = max{Δ v_i }, i = 1, 2, …, n. Тогда интегральная сумма (1) для функции f (P) = f (x; y; z), P Î V, примет вид

S_n = =

и ее предел, если он существует, называется тройным интегралом от функции f (x; y; z) по пространственной области D и обозначается

= =

где V – область интегрирования;

x, y, z – переменные интегрирования;

dxdydz – дифференциал объема пространственной области V.

Свойства интегралов по фигуре (кратных интегралов). Свойства интегралов по фигуре аналогичны свойствам однократных определенных интегралов как частным случаям интеграла по фигуре.

Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть функция
z = f (P) = f (x; y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z = f (x; y) (рисунки 53 и 54).

Рисунок 54