Непрерывные функции одной переменной

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x ₀, если она определена в некоторой окрестности точки x ₀ и f (x) = f (x ₀).

Это определение содержит следующие четыре условия непрерывности:

1) y = f (x) должна быть определена в некоторой окрестности точки x ₀;

2) должны существовать конечные пределы f (x ₀ + 0) = f (x) и f (x ₀ – 0) = f (x) (пределы справа и слева − односторонние пределы);

3) односторонние пределы должны быть одинаковыми;

4) эти пределы должны быть равны f (x ₀).

Если не выполняется хотя бы одно из условий 1–4, то функция имеет разрыв в точке x ₀.

Функция непрерывна в точке x ₀ справа, если выполняется условие

=

В противном случае функция имеет разрыв в точке справа.

Функция непрерывна в точке слева, если имеет место равенство

=

В противном случае функция имеет разрыв в точке слева.

Из условий 2–4 следует, что если функция непрерывна в точке x ₀, то она непрерывна в этой же точке справа и слева.