Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой параболы (рисунок 8).

Рисунок 8

Если за ось абсцисс принять перпендикулярную прямую, проведенную из фокуса к директрисе, а начало координат поместить посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы примет вид

у ² = 2 рх,

где р – параметр параболы, расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

Парабола имеет одну ось симметрии, которая совпадает при таком выборе системы координат с осью X. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат и является единственной точкой пересечения параболы с осями.

Пример 15. Составить уравнение параболы, зная, что фокусы имеют координаты (0; 5), ось ординат служит осью симметрии, а вершина находится в начале координат.

Решение

Так как осью симметрии является ось ОY, то уравнение будет иметь вид х ² = 2 ру, так как фокус в общем случае имеет координаты , то исходя из условия имеем = 5, откуда p = 10. Таким образом, х ² = 2 × 10 × у или х ² = 20 у – искомое уравнение.

Тест 29. В уравнении параболы у ² = 3 х значение параметра p равно:

1) 3;

2) ;

3) 1;

4) 3 x.

Тест 30. Среди уравнений второго порядка указать уравнение гиперболы:

1)

2)

3)

Если вершина параболы находится в точке (x ₀; y ₀), то ее каноническое уравнение примет следующий вид:

Ответы на тестовые задания