П р и м е р 2.

Механическая система (рис. 2) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней R₂ и r₂ (масса которого равномерно распределена по его внешнему ободу) и груза 3. Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 2. Коэффициент трения груза о плоскость равен f = 0, 1. Каток катится по плоскости без скольжения. Трением качения пренебречь.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием переменной силы F = f(S), зависящей от перемещения S точки приложения этой силы, В процессе движения на шкив 2 действует постоянный момент сил сопротивления M₂.

Д а н о: m₁ = 4 кг; m₂ = 10 кг; m₃ = 2 кг; R₂ = 0, 2 м; r₂ = 0, 1 м; f = 0, 1;

M₂ = 0, 6 Hм; F = 2 (1 + 2∙ S) H.

О п р е д е л и т ь: скорость V_C1центра масс катка, когда S = S₁ = 1 м.

Р е ш е н и е

Во втором примере имеется ряд отличий от первого примера в постановке задачи.

o Движение, хотя и начинается из состояния покоя, но происходит за счет действиея переменной движущей силы.

o Трение качения не учитывается, но вводится трение скольжения груза о наклонную плоскость и момент трения на оси шкива.

o Масса шкива равномерно распределена по внешнему ободу, и момент инерции шкива вычисляется особым образом

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы.

Активные – движущая сила силы тяжести тел , .

Реакции связей – реакцию подшипника шкива момент сопротивления подшипника шкива М_2, нормальные реакции наклонных плоскостей , , а также их касательные реакции – силы трения и .

Скорость груза.

Для определения скорости V_C1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме:

= å (2.1)

Определяем Т₀ и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀ = 0.

Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

T = T₁ + T₂ + T₃. (2.2)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, а тело 3 перемещается поступательно, получим

; ; . (2.3)

Все входящие сюда скорости следует выразить через искомую VC1. Приняв во внимание, что точка К1 – мгновенный центр скоростей катка l, и обозначив радиус катка через r1, получим

(2.4)

Кроме того, входящие в уравнение (2.3) моменты инерции имеют следующие значения. Момент инерции катка, который можно принять за однородный цилиндр, определяем из справочника

;

Момент инерции шкива, масса которого считается распределенной равномерно по внешнему ободу, равен

. . (2.5)

Подставив все величины (2.4) и (2.5) в равенства (2.3), получим кинетическую энергию системы:

. (2.6)

Найдём сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка С₁ пройдет путь S₁, для чего учтем, что здесь зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями в равенствах (2.4), т.е.

.

Знаки работ, как переменной силы , так и постоянных сил и момента, соответствуют их роли в движении системы: они положительные у движущих сил и отрицательные у сил, тормозящих движение. В результате получим

Работа остальных сил равна нулю, так как они не влияют на движение системы. Силы приложены в неподвижной в данный момент точке К₁ (мгновенном центре скоростей катка); приложены в неподвижной точке шкива О, а реакция наклонной плоскости перпендикулярна перемещению груза 3.

Тогда окончательно суммарная работа внешних сил равна

(2.7)

С учетом значений заданных величин получим

. (2.8)

Подставив выражения (2.6) и (2.8) в теорему (2.1) и учитывая, что Т₀ = 0, получим уравнение для нахождения скорости

27× = 8, 96.

Отсюда находим искомую скорость.

О т в е т: V_С1= 0, 58 м/c.