Операції над матрицями.

Додавання й обчислення матриць зводиться до відповідних операцій над їх елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вони визначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції додавання й обчислення матриць:

Визначення. Сумою (різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.

cij = aij ± bij

С = А + В = В + А.

Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (діленню) кожного елемента матриці на це число.

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Приклад. Дані матриці А = ; B = , знайти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Визначення: Добутком матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:

A× B = C;

.

З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.

Властивості операції множення матриць.

1)Множення матриць не коммутативне, тобто АВ ¹ ВА навіть якщо визначено обидва добутки. Однак, якщо для яких – небудь матриць співвідношення АВ=ВА виконується, то такі матриці називаються перестановочними.

Самим характерним прикладом може слугувати одинична матриця, яка є перестановочной з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.

Перестановочними можуть бути тільки квадратні матриці того самого порядку.

А× Е = Е× А = А

Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступна властивість:

A× O = O; O× A = O,

де О – нульова матриця.

2) Операція множення матриць асоциативна, тобто якщо визначені добутки АВ і (АВ)С, то визначені ВС і А(ВС), і виконується рівність:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операція множення матриць дистрибутивна стосовно додавання, тобто якщо мають сенс вираз А(В+С) і (А+В)С, то відповідно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Якщо добуток АВ визначений, то для будь-якого числа вірне співвідношення:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Якщо визначений добуток АВ, то й визначений добуток В^ТА^Т і виконується рівність:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, де індексом Т позначається транспонована матриця.

6) Помітимо також, що для будь-яких квадратних матриць

det (AB) = detA× detB.

Що таке det буде розглянуто далі.

У якості наслідку з попереднього властивості (5) можна записати, що:

(ABC)^T = C^TB^TA^T, за умови, що визначений добуток матриць АВС.

Приклад. Дані матриці А = , В = , З = і число a = 2. Знайти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = × = = ;

aC = ; А^ТВ+aС = + = .

Приклад. Знайти добуток матриць А = і В = .

АВ = × = .

ВА = × = 2× 1 + 4× 4 + 1× 3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Приклад. Знайти добуток матриць А= , В =

АВ = × = = .

Запитання для самоктролю

1. Що називається матрицею? Яка матриця називається одиничною?

2. Які матриці називаються рівними?

3. Як означаються лінійні операції над матрицями? Які їх властивості?

4. Що називається добутком двох матриць? Які властивості добутку матриць?

5.При яких умовах можна перемножити дві матриці?

6. Які матриці називаються переставними?

7. Яка матриця називається оберненою до матриці А?