линейных систем.

Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. ее свободное движение, описывается решением однородно­го дифференциального уравнения. Рассмотрим возможные виды свободного движения линейной системы в зависимости от корней ее характеристического уравнения.

Как уже указывалось, линейный объект с сосредоточенными параметрами может быть описан следующим дифференциальным уравнением:

(3 – 1)

Свободное решение этого уравнения имеет вид

где p_i - корни характеристического уравнения

(3 – 2)

В общем виде p_i, _i+1 = Re + iIm.

Возможны следующее варианты решения в зависимости от вида корней:

Элементарные составляющие свободного движения y_i, _i+1(t) соответствующие различным вариантам p_i, _i+1, показаны на рисунке 50,

Рис.50.

Как видно из рисунка, затухание свободного движения, т.е. возврат системы в исходное состояние равновесия, происходит только в том случае, когда действительная часть корней характе­ристического уравнения - отрицательная (рис. 50б y^*_i); при положительной действительной части корня свободное движение сиcтемы " разгоняется" (рис. 50б y^**_i); если α = 0, в системе пос­ле снятия возмущения устанавливаются незатухающие колебания (рис.50г), т.е, система находится на границе устойчивости. Теперь можно сформулировать общее условие устойчивости линей­ных систем: линейная система будет устойчива в том случае, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, система будет неустойчива. На рисунке 51 показано расположение корней p_i в плоскости комплексного переменного в зависимости от знака Re[p_i].

Рис.51.

Bсe корни P_i с отрицательной действительной частью будут лежать слева от мнимой оси, следовательно, границей области ус­тойчивости в плоскости p является мнимая ось. Поэтому усло­вие устойчивости линейной системы можно сформулировать иначе: линейная система будет устойчива, если все корни её характерис­тического уравнения лежат в плоскости комплексного переменного слева от мнимой оси.

Однако пользоваться этим условием на практике для оценки устойчивости реальных систем оказывается достаточно сложно. Это связано с тем, что реальные промышленные системы описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка или содер­жат звенья чистого запаздывания, так что нахождение корней ха­рактеристического уравнения представляет трудную задачу. Для таких систем разработаны так называемые критерии устойчивости, позволяющие оценить устойчивость системы по некоторым другим признакам, определение которых оказывается

проще, чем нахождение корней характеристического уравнения.

Необходимое условие устойчивости линейных систем.

Предположим, что линейная система, описываемая дифференциаль­ным уравнением (3-1), устойчива. Следовательно, все корни её характеристического уравнения (3-2) имеют отрицательную дей­ствительную часть, т.е.

Представим полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, в виде произведения II (p-p_i)

Таким образом, коэффициенты полинома, определяемые произведе­нием сомножителей вида (p+α _i) и [(p+α _i)²+ω _i²] при α _i> 0, будут положительными. Следовательно знак коэффициентов дифферен­циального уравнения (3-1) будет определяться знаком a_n.

Отсюда можно сформулировать следующий критерий:

для того, чтобы линейная система была устойчива, необходимо (но не достаточно), чтобы все коэффициенты ее характеристическо­го уравнения имели одинаковый знак (в частности, положительный).

Ниже будет показано, что для систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, необходимое условие устойчивости является и достаточным. Для более сложных систем применяются следующие критерии устойчивости:

1) алгебраические критерии Рауса и Гурвица;

2) критерий Михайлова;

3) амплитудно-фазовый критерий (критерий Найквиста).

Рассмотрим каждый из этих критериев.