Многочлена над областью целостности

Теорема 6.1. Пусть K – область целостности, f (x) =а ₀ +а ₁ х+а ₂ х ² +…+а_nxⁿ K [ x ], а_n 0. Тогда многочлен f (x) имеет не более n попарно различных корней. Другими словами, любой ненулевой многочлен n-й степени над областью целостности имеет не более n попарно различных корней.

Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру n.

1) Пусть n =0 f (x) =a ₀ f не имеет корней, т.е. f имеет нуль корней и значит 0 0 =n – верно.

2) Пусть n > 0. Предположим, что утверждение верно при n=l.

3) Докажем, что утверждение верно при n=l+ 1: deg f =l+ 1. Если f не имеет корней, то число корней равно 0 и 0 l+ 1 – верно. Пусть f имеет хотя бы один корень и с ₁ – корень f (x)такой, что с ₁ K. Тогда по теореме Безу f (x) = (x – c ₁) q (x), где q (x) K [ x ], причём degq (x) =n –1 =l по пункту 2) q (x) имеет не более l попарно различных корней.

Покажем, что все корни многочлена f (x), отличные от с ₁, являются также корнями многочлена q (x). Пусть с ₂ – корень f (x), с ₂ с _{1 =} (c ₂– c ₁) q (c ₂), т.е. (с ₂– с ₁) q (c ₂)=0.Так как K –область целостности, то q (c ₂)=0 c ₂– корень q (x). Таким образом, многочлен f (x) имеет корень с ₁, а все остальные корни многочлена f являются также корнями многочлена q. Так как q (x) имеет не более l попарно различных корней, то многочлен f имеет не более, чем (l +1) попарно различных корней.

Из 1)–3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого n N . Теорема доказана.

Следствие 6.1.1. Пусть K – область целостности, f (x) =а ₀ +а ₁ х+а ₂ х ² +…+а_nxⁿ K [ x ]. Если многочлен f (x) имеет более n попарно различных корней, то f (x) является нулевым многочленом.