Решение. Рассчитаем выборочные числовые характеристики (в расчётах будем использовать середины интервалов ).

Рассчитаем выборочные числовые характеристики (в расчётах будем использовать середины интервалов ).

	интервал
	52-55	53, 5		481, 5	2862, 25	25760, 25
	55-58	56, 5		621, 5	3192, 25	35114, 75
	58-61	59, 5		1130, 5	3540, 25	67264, 75
	61-64	62, 5		1875, 0	3906, 25	117187, 50
	64-67	65, 5		1375, 5	4290, 25	90095, 25
	67-70	68, 5		685, 0	4692, 25	46922, 50
∑	−	−		6169, 0	−	382345, 00

Объём выборки:

.

Выборочное среднее:

баллов.

Выборочная дисперсия:

(б²).

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

(б).

а) Вычислим предельную ошибку выбранной средней (для бесповторной выборки):

,

где − выборочная дисперсия;

− объём выборки;

− объём генеральной совокупности;

− значение, которое находится по таблице функции Лапласа для заданной вероятности 0, 9954.

Найдём значение :

.

Тогда предельная ошибка:

(б).

Зная предельную ошибку выбранной средней, можем записать доверительный интервал для среднего числа m набранных баллов для всех участников соревнования:

;

;

(м).

Таким образом, среднее число набранных баллов для всех участников соревнования с вероятностью 0, 9954 заключено в пределах от 60, 535 до 62, 845 баллов.

б) Найдём объём выборки, который может гарантировать найденные в пункте а) границы с вероятностью 0, 9942:

,

где ;

;

(м²);

(м);

.

Округляя до ближайшего большего целого числа, получаем, что границы, найденные в пункте а), гарантировать с вероятностью 0, 9942 можно при обследовании выработки 119 ткачих.

в) Определим долю участников соревнований, набравших не менее 67 баллов:

.

Дисперсия доли:

.

Требуется найти вероятность того, что выборочная доля участников соревнований, набравших не менее 67 баллов, отклоняется от генеральной доли таких участников не более чем на 0, 05 (по абсолютной величине).

Предельная ошибка выборочной доли участников соревнований, набравших не менее 67 баллов, определяется по формуле:

,

где .

Нам задана предельная ошибка выборочной доли:

.

Следовательно, можем найти значение :

.

Вероятность, соответствующую заданному значению , найдём по таблице для функции Лапласа:

.

Таким образом, выборочная доля участников соревнований, набравших не менее 67 баллов, отклонится от доли среди всех участников не более чем на 0, 05 (по абсолютной величине) с вероятностью 0, 9154.