Задача 9. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид

Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид

1. Найти:

а) параметр распределения С (в виде дроби);

б) математическое ожидание M(X);

в) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ (Х);

г) функцию распределения F(x) случайной величины X;

д) моду Мо;

е) медиану Ме;

ж) вероятность осуществления неравенств и .

2. Построить графики функций f(x) и F(x). Изобразить на графике функции f(x) найденные характеристики и вероятности.

Решение.

1.

а) Найдём параметр распределения С из условия нормировки :

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Запишем плотность распределения:

б) Найдём математическое ожидание M(X):

в) Найдём дисперсию D(X):

Найдём среднее квадратическое отклонение σ (Х):

г) Найдём функцию распределения F(x) случайной величины X:

;

;

.

Таким образом, функция распределения случайной величины имеет вид:

.

д) Мода есть наиболее вероятное значение случайной величины . Поскольку на интервале плотность распределения убывает, то модой будет:

.

е) Найдём медиану Ме из условия :

;

;

;

;

.

ж) Найдём вероятность осуществления неравенства :

Найдём вероятность осуществления неравенства :

2. Построим графики функций f(x) и F(x). Изобразим на графике функции f(x) найденные характеристики и вероятности.