Законы коммутации.

Обоснование невозможности скачка тока через индуктив­ную катушку и скачка напряжения на конденсаторе.

Доказатель­ство того, что ток через индуктивную катушку не может изменяться скачком, проведем на примере схемы рис.2. По второму закону Кирхгофа

(1)

Ток i и ЭДС Е могут принимать конечные (не бесконечно боль­шие) значения.

Допустим, что ток i может измениться скачком. Скачок тока означает, что за бесконечно малый интервал времени Dt®0 ток изменится на конечное значение Di. При этом Di/Dt®¥. Если вме­сто Ldi/dt в уравнение (1) подставить ¥, то его левая часть не будет равна правой части и не будет выполнен второй закон Кирхгофа.

Следовательно, допущение о возможности скачкообразного из­менения тока через индуктивную катушку противоречит второму закону Кирхгофа.

Ток через L не может изменяться скачком, но напряжение на L, равное Ldi/dt, скачком измениться может. Это не противоречит второму закону Кирхгофа.

Доказательство того, что напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, проводится аналогично.

Обратимся к простейшей цепи с конденсатором (рис. 3, a). Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа:

где Е — ЭДС источника, конечная величина; u_C — напряжение на конденсаторе.

(2)

Рис. 3

Если допустить, что напряжение u_C может измениться скачком, то Du_C/Dt» du_C/dt®¥ и левая часть (2) не будет равна правой части. Отсюда следует, что допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе противоречит второму закону Кирхгофа. Однако ток через конденсатор, равный Cdu_C/dt, может изменяться скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа.

Из указанных двух основных положений следуют два закона (правила) коммутации.

Первый закон (правило) коммутации. Ток через индуктив­ный элемент L непосредственно до коммутации L(0_-) равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после комму­тации L(0₊):

(3)

Время t=0_- представляет собой время непосредственно до коммутации, t=0₊ — после коммутации (рис. 3, б). Равенство (3) выражает собой первый закон коммутации.

Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напря­жение на конденсаторе непосредственно до коммутации u_C(0_-), а напряжение на нем непосредственно после коммутации u_C(0₊).

В соответствии с невозможностью скачка напряжения на кон­денсаторе

(4)

Равенство (4) выражает собой второй закон коммутации.