Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассматривается цилиндрическая стенка с внутренним тепловыделением q_v при отсутствии теплоотдачи с торцов. Температурное поле такой стенки описывается уравнением (3.23) с общим интегралом (3.26).

Рассмотрим случаи, когда теплоотдающей поверхностью являются:

1) наружная поверхность;

2) внутренняя поверхность;

3) обе поверхности.

Охлаждение только по наружной поверхности (рис. 3.4)

Дано: r₁, r₂, , q_v, λ, t_{ж 2}, α ₂.

Определить: уравнение температурного поля t=f(r), тепловой поток (Q₂, Вт ), рассеиваемый наружной поверхностью.

Для нахождения постоянных интегрирования с₁ и с₂ в уравнении (3.26) потребуется два дополнительных условия: граничное условие третьего рода для наружной поверхности стенки

(3.31)

и условие максимума температуры на внутренней поверхности стенки

(3.32)

Решением системы уравнений (3.23), (3.31), (3.32) является уравнение температурного поля t=f(r) в виде

(3.33)

где r – текущий радиус.

Расчетные формулы для вычисления максимальной температуры (t_max), температуры наружной поверхности стенки (t_c2) можно получить, если в (3.33) подставить r=r₁, r=r₂ соответственно.

Тепловой поток, рассеиваемый наружной поверхностью стенки,

(3.34)

где V=p (r₂ ²- r₁ ²) , м³ – тепловыделяющий объем.

Охлаждение только по внутренней поверхности (рис. 3.5)

Определить: t=f(r), Q₁, Вт.

Граничное условие третьего рода для внутренней поверхности стенки запишется в виде

(3.35)

Условие максимума температуры на наружной поверхности стенки

(3.36)

Решением системы уравнений (3.23), (3.35), (3.36) является уравнение температурного поля t=f(r)

(3.37)

Расчетные формулы для t_max и можно получить, если в (3.37) подставить r = r₂ и r= r₁ соответственно.

Тепловой поток Q₁, рассеиваемый внутренней поверхностью стенки, рассчитывается по уравнению (3.34).

Охлаждение по внутренней и наружной поверхностям (рис. 3.6)

Дано: r₁, _, r₂. , q_v, λ, , .

Определить: t=f(r), радиус максимальной температуры r₀, тепловые потоки Q₁, Q₂.

Для нахождения постоянных интегрирования с₁ и с₂ в уравнении (3.26) и радиуса максимальной температуры r₀ потребуется три дополнительных условия: граничные условия первого рода на поверхностях стенки

при	(3.38)
при	(3.39)

и условие максимума температуры при r = r₀

(3.40)

Решением системы уравнений (3.23), (3.38) - (3.40) являются уравнение температурного поля стенки t=f(r)

(3.41)

где r – текущий радиус, и формула для расчета радиуса максимальной температуры

(3.42)

Формулы для расчета перепадов температуры в стенке получены на основании (3.41):

(3.43)

(3.44)

Потоки теплоты Q₁ и Q₂, рассеиваемые поверхностями стенки, рассчитываются по формулам

	(3.45)
	(3.46)

Суммарный тепловой поток

(3.47)