Занятие 8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Распределение Пуассона

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. Но пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико

Здесь при

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. .

Формула Лапласа дает хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п.

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0, 2.

Решение. По условию, n = 400; k = 80; р = 0, 2; q = 0, 8. Воспользуемся формулой Лапласа:

где

По таблице приложения 1 находим . Искомая вероятность

Предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Вероятность Р_п (k_1, k ₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k ₁и не более k ₂раз вычисляется с помощью интегральной теоремы Лапласапо формуле

Ф - Ф ,

где , .

Значения функции Лапласа Ф (х)= приводятся в таблице для неотрицательных значений х; для х < 0 пользуются той же таблицей, зная, что функция Ф (х) нечетна, т. е.Ф(- х) = - Ф (х). В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, а для х > 5 можно принять Ф (х)= 0, 5.

Пример 2. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р= 0, 8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

а) По условию п= 100; р= 0, 8; q= 1- p= 0, 2; k ₁ = 75; k ₂ = 90.

Найдем х' и х''

.

По таблице найдем

.

В итоге получаем

.

б) По условию k ₁ = 75; k ₂ = 100. Тогда х'= -1, 25, х''= 5. По таблице найдем

.

Отсюда

Локальная теорема Лапласа непригодна, если вероятность события мала (). В этих случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона

Здесь сделано важное допущение: произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр = k. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.

Пример 3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0, 0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, п = 5000, р = 0, 0002, k = 3. Найдем :

= пр = 5000 • 0, 0002 = 1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

=