Фононы и их распределение по энергиям

(распределение Бозе-Эйнштейна)

Атомы, ионы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, являются квантовыми гармоническими осцилляторами.

Из решения уравнения Шредингера следует, что энергия таких частиц квантуется.

Согласно принципу минимума энергии наиболее выгодное состояние – состояние с энергией W ₀ – основное (невозбужденное) состояние.

При сообщении твердому телу дополнительной энергии происходит возбуждение осцилляторов – они переходят на более высокие уровни.

Но возбужденные состояния – короткоживущие. Пробыв в них короткое время, осцилляторы переходят на ниже лежащие состояния. При этом правило отбора утверждает, что

D n = 1,

т. е. переходы происходят на соседний нижележащий уровень.

При этом осциллятор теряет энергию , которая уносится в виде низкочастотной тепловой волны по кристаллу.

Порцию (квант) такой тепловой волны по аналогии с порцией (квантом) электромагнитной волны – фотоном, назвали фононом.

Т. о. фонон – это квазичастица, так как существует только в твердом теле, не имеющая электрического заряда, не существующая в покое, а всегда движущаяся со скоростью звука в твердом теле.

Энергия фонона:

. (12-2)

При этом для фононов нет запрета Паули, спин у них целочисленный s = 1, значит, они относятся к классу бозонов.

Функция распределения Бозе-Эйнштейна позволяет вычислить среднее число бозонов (фононов) из общего их числа, находящихся в данном квантовом состоянии или вероятность того, что данный фонон обладает энергией .

= . (12-3)

Другими словами функция распределения Бозе-Эйнштейна определяет вероятность заселения данного квантового состояния.

Графически

При ® » - классическое распределение Максвелла-Больцмана.

где - энергия осциллятора.

n = с энергией .

Т. к. энергия одного фонона , а их число в данном квантовом состоянии определяется (12-3), тогда средняя энергия одного квантового состояния гармонического осциллятора (средняя энергия всех фононов в данном квантовом состоянии):

. (*)