Статистический вес системы частиц

Опыт показывает, что если система, выведенная из состояния равновесия, с течением времени вновь возвращается в исходное состояние и может находиться в нем сколь угодно долго, то такое состояние называется равновесным.

Равновесное состояние можно полностью описать, если задать макроскопические параметры состояния – т. е. усредненные характеристики, описывающие состояние всей совокупности частиц.

Заданное с помощью макроскопических параметров равновесное состояние называется макросостоянием (например, задано давление, абсолютная температура газа, средняя энергия электронов в металле и т. п.).

Любое равновесное макросостояние системы может осуществляться различными способами.

В классической механике положение каждой частицы в пространстве может быть достаточно точно определено (в пределах достаточно малых погрешностей можно одновременно определить и координаты частицы x, y, z и проекции её импульса p_x, p_y, p_z на соответствующие координатные оси).

Графически местоположение любой частицы в таком шестимерном пространстве ( фазовом) можно изобразить в виде точки с координатами x, y, z, p_x, p_y, p_z ( фазовая точка ).

В квантовой механике из-за наличия у частиц волновых свойств и в соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга одновременно точно измерить и координаты частицы и проекции импульса на соответствующие оси невозможно, D x D p_x ³ h.

Тогда все фазовое пространство как бы «разбивается» на ячейки, в одномерном случае площадью ~ h.

В общем случае вводят понятия

d Г _V = dxdydz – элемент объема в пространстве координат,

d Г _P = dp_xdp_ydp_z – элемент объема в пространстве импульсов,

d Г = d Г _Vd Г _P – элемент объема в шестимерном фазовом пространстве.

Различить отдельные микросостояния частицы возможно лишь тогда, когда размер элемента объема фазового пространства d Г, занимаемого частицей,

d Г t h ³.

Т.о. все фазовое пространство разбивается как бы на ячейки.

Минимальный объем фазового пространства, определяющий одно состояние частицы, называется элементарной ячейкой фазового пространства

W = W_p + W_k, W_p = 0 ® W = W_k =

Средняя энергия частиц < W > = = const, но p_x, p_y, p_z – могут изменятся.

d Г _V = dV

d Г = d Г₁dГ₂ …. dГ _N ³ (h)^{3 N},

где dГ ₀ ³ (h)^{3 N} – объем элементарной ячейки

Итак, разбив фазовое пространство, занимаемое системой частиц, на элементарные ячейки и подсчитав количество таких ячеек, мы определим статистический вес данного состояния системы, т. е. число микроспособов, которыми может быть реализовано данное макросостояние.

По характеру поведения частиц в системе все частицы делятся на два класса: фермионы и бозоны.

«Фермионы» - частицы с полуцелым спином, «индивидуалисты» (принцип запрета Паули).

«Бозоны» - частицы с целым спином, «коллективисты» (нет запрета Паули).

Для проявления специфических свойств частиц нужно, чтобы они «встречались» друг с другом как можно чаще. Под «встречей» понимается возможность попадания частиц в одно и то же или близкое состояние (элементарную ячейку).

Пусть на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находится отдельно частица (каждому микросостоянию квантовой частицы отвечает одна элементарная ячейка).

Тогда мерой того, как часто частицы будут встречаться между собой, может служить отношение .

Если - встречи редки, не важны специфические квантовые свойства частиц, это классические частицы ® (невырожденная система) ® классические статистики (Максвелла-Больцмана).

Если t 1 (N t G) – частицам приходится выяснять специфические свойства – это квантовые частицы ® вырожденная система ® квантовые статистики (Ферми –Дирака или Бозе-Эйнштейна).

Т. о. вырожденные системы – только из квантовых частиц, а невырожденные – и из квантовых и из классических (говорят, что вырождение снимается!).

Установим критерий невырожденности для, например, идеального газа и электронного газа в металлах:

Из (11-4) имеем:

Гелий при н.у.: м^-3, кг, Т = 300 К.

.

- классическая (невырожденная) система частиц.

Электроны в металле при Т = 300 К

м^-3, кг.

- квантовая (вырожденная) система частиц.

При Т t 10⁴ ¸ 10⁵ К - классический газ, вырождение снимается!

Но при таких температурах металла в твердом состоянии нет!