Графические методы аппроксимации.

В некоторых частных случаях можно подобрать эмпирическую формулу, описывающую результаты эксперимента, непосредственно по графику у=f(х). Для этого на графике в прямоугольной системе координат откладывают точки с координатами х_i и y_i, где х_i и y_i - значения соответственно входного и выходного параметров технологического процесса в каждом измерении. По этим точкам строят график функции, которая наилучшим образом описывает результаты эксперимента. При этом пользуются следующими правилами:

- число точек над и под кривой должно быть примерно одинаковым;

- по мере возрастания “Х” точки должны по возможности поочередно появляться над и под кривой построенной кривой для точек, расположенных сверху от нее, должна быть примерно равна сумме отклонений нижних точек.

Соблюдая, по возможности, эти правила и сообразуясь с предполагаемым видом зависимости, нужно от руки провести кривую и найти ее уравнение.

Построение графика прямой линии.

Уравнение прямой, выходящей из начала координат, имеет вид:

у=а*х,

где а- коэффициент, характеризующий наклон прямой.

Можно условно считать, что построенная от руки прямая выходит из какой-то точки с координатами (х₁, у₁), взятой произвольно в левой части прямой. Смещение начала координат в эту точку фиксируется следующим образом:

у-у₁=а*(х-х₁)

Выбрав в правой части прямой любую точку с координатами (х₂, у₂) и подставив из в это уравнение, получим:

у₂-у₁=а*(х₂-х₁)

откуда: а = (у₂-у₁)/(х₂-х₁).

После окончательного преобразования имеем:

у=у₁+(у₂-у₁)*(х-х₁)/(х₂-х₁).

Достаточно подставить численные значения х₁, х₂, у₁, у₂, чтобы получить уравнение прямой. Значения х₁, х₂, у₁, у₂ можно выбрать из экспериментальных значений, которые лежат на прямой линии (рис.1)

у₁

у₂

х₁ х₂

Рис.1 Построение графика прямой линии

Построение графика параболы.

у=а*х²

Парабола является экстремальной функцией и имеет минимум, если а> 0, и максимум, если а< 0.

Главное при обработке экспериментальных данных по параболическому закону - выделить фрагмент параболы на графике и достроить ее до экстремума (рис.2). После того, как найдено положение экстремума нужно зафиксировать его координаты (х₁, у₁) и ввести в уравнение параболы со смещенным началом координат.

у-у₁=а*(х-х₁)²

Затем нужно выбрать вторую точку с координатами (х₂, у₂) примерно посередине участка ветви, проходящей через экспериментальные точки, и подставить все четыре числа в окончательное уравнение

у=у₁+(у₂-у₁)*(х-х₁)²/(х₂-х₁)²

у у

у₁

у₂ у₂

у₁

х х

х₁ х₂ х₁ х₂

Рис. 2. Построение графика параболы.

Построение графика кубической параболы.

у=а*х³

Этот график представляет собой кривую с перегибом, который принимается в рассматриваемом методе за условное начало координат (х₁, у₁) (рис.3). Тогда уравнение кубической параболы со смещенным началом координат запишется в виде

у-у₁=а*(х-х₁)³

Вторая точка с координатами (х₂, у₂) выбирается примерно посередине участка ветви, проходящей через экспериментальные точки. Окончательно уравнение для построения кубической параболы запишется в виде:

у=у₁+(у₂-у₁)*(х-х₁)³/(х₂-х₁)³

у у

у₂

а> 0 у₂ а< 0

у₁ у₁

х₁ х₂ х₂ х₁ х

Рис.3 Построение графика кубической параболы.

Построение графика обращенной кубической параболы

(“сигмоиды”)

у=а* ³ х

График этой функции также представляет собой кривую с перегибом, но имеет тенденцию к насыщению (рис.4)

у у

у₁

а> 0 а> 0

у₂

у₂ у₁

х₂ х₁ х х₂ х₁ х

Рис.4.Построение графика кубической параболы.

Определив координаты точки перегиба (х₁, у₁) и точки посередине ветви (х₂, у₂) можно получить эмпирическую зависимость

у=у₁+(у₂-у₁)*³Ö (х-х₁)/³Ö (х₂-х₁)