Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Спектральный анализ сигналов
Любой сигнал x(t) математически может быть представлен набором простейших функций (подобно разложению числа на сомножители). Главное требование к простейшим функциям – их единственность (уникальность) и непохожесть на другие функции. Это свойство исключительности набора простейших функций отражается в математике свойством ортогональности: (на некотором интервале (0, Т)): . Разложение сигнала на простейшие функции представляется рядом: . Коэффициенты ряда – Сk выбираются из условия минимума среднеквадратичной погрешности по отношению к исходному сигналу: Сk находятся по формуле (с учетом нормировки) . При увеличении членов ряда n к бесконечности (∞) погрешность отображения исходной функции x(t) становится сколь угодно малой. Тогда такой ряд называют обобщенным рядом Фурье. В качестве простейших ортогональных функций часто выбирают тригонометрический ряд: . (1.1) Совокупность коэффициентов ряда {Ck} называют спектром амплитуд или амплитудно-частотным спектром, а совокупность {jk} - спектром фаз или фазово-частотным спектром. С учетом: (1.2) и
получаем другую форму ряда Фурье: , (1.3) где коэффициенты ak и bk определяется как: ; ; . (1.4) Коэффициенты ak называют косинусной (четной) составляющей, bk - синусной (нечетной). Разложение сигнальной функции на " простейшие" составляющие называют спектральным анализом или спектральным разложением. В тригонометрическом ряде Фурье в качестве " простейшей" функции принято синусоидальное (косинусоидальное) колебание одной частоты, называемое " гармоническим". Поэтому составляющие ряда Фурье называют " гармоники "; имея в виду, что ряд состоит из кратных -k- частот, т.е. кратных гармоник (первая гармоника, вторая гармоника … сотая гармоника …). Так как интервал ортогональности 0, Т – совпадает с периодом Т = 2p/w1, то определение коэффициентов ряда производится в пределах интервала ортогональности (-Т/2, Т/2).
Рассмотрим пример спектрального разложения периодического колебания типа " меандр". Меандр – греческое слово, обозначающее " орнамент" (рис. 1.3).
а) б) Рис 1.3 . Выбор начала координат а) или б) определит состав гармонического разложения: по четным коэффициентам или не четным, это определяется видом функций x(t) в пределах (-Т/2, Т/2). В случае выбора начала координат по а) функция x(t) оказывается нечетной, т.е. х(-Т/2) = -х(Т/2), при этом в ряде Фурье остаются только члены bk, определяемые нечетной функций синуса. Составляющие ak оказываются при этом, равными нулю ak = 0. В случае выбора начала координат по б) функция x(t) оказывается четной, и ряд Фурье будет определяться только составляющими ak, bk = 0. Постоянная составляющая, как видно из графика, равна нулю. Для случая а): с учетом, что и . Тогда ряд Фурье: или с учетом w = 2π f . (1.5) Полученный спектральный состав можно представить графически (рис. 1.4).
Рис. 1.4
Приведенный график называют " спектром". Синтез исходной временной функции по спектральным составляющим понятен из рис. 1.5.
Рис. 1.5
|