II. Руководство для выполнения задания 6

В качестве примера решим следующую задачу. Число преступлений х_i по годам наблюдения i представлено простым статистическим рядом таблицей 3:

таблица 3

Построить гистограмму распределения случайной величины Х, определить основные параметры закона распределения.

Необходимо разбить статистический ряд на равные интервалы. Количество интервалов (q) выбирается произвольно. Допустим, q=5. Далее необходимо вычислить длину каждого интервала h по следующей формуле:

, где

х_max – максимальное значение случайной величины Х для своего варианта, для нашего примера х_max=157.

х_min – минимальное значение случайной величины из статистического ряда для своего варианта, для нашего примера х_min=115

Далее составляется таблица группировки:

таблица 4

Интервал	q=1	q=2	q=3	q=4	q=5
115-123, 4	123, 4-131, 8	131, 8-140, 2	140, 2-148, 6	148, 6-157
к
	0, 133	0, 2	0, 266	0, 266	0, 133

- Строка Интервал заполняется следующим образом: первый интервал начинается c минимального значения случайной величины (х_min) и заканчивается значением х_min +h = 115+8, 4=123, 4 Значения каждого последующего интервала больше значения предыдущего интервала на величину h. Необходимо помнить следующее: если значение случайной величины попадает в два интервала, то заносится один раз в интервал с большими значениями. Например: если случайная величина имела бы значение 140, 2 то данное значение случайной величины заносится только в один четвёртый интервал, а не в третий и четвёртый интервалы одновременно;

- к: количество значений случайной величины из статистического ряда, попадающих в данный интервал. Например, второй интервал включает в себя все значения случайной величины от 123, 4 до 131, 8. Тогда из нашего статистического ряда попадают в этот интервал три значения случайной величины: 124, 128, 131, т.е. к=3;

- : это относительная частота появления значений случайной величины в данном интервале:

где n – общее число значений случайной величины в статистическом ряду, для нашего примера n=15. Для второго интервала

По таблице группировки строится гистограмма распределения случайной величины:

К основным числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание (его ещё называют среднестатистическим значением), дисперсия, среднеквадратичное отклонение.

1. Математическое ожидание в случаях группировки данных вычисляется по следующей формуле:

(1)

где x_{q ср} – среднее арифметическое значение всех значений случайной величины, попадающих в интервал q. Верхний предел суммы равен 5, потому что интервалов всего 5.

При вычислении математического ожидания по любой формуле значение P_к* должно соответствовать значению относительной частоты случайной величины Х того интервала, в каком находится значение случайной величины. Например, относительная частота появления значений х_i=115 и х_i=121 в первом интервале равна 0, 133 т.е. для первого интервала р_k* =0, 133 Необходимо учитывать следующее. Допустим, что случайная величина имеет пограничное значение, например, 123, 4. Тогда данное значение случайной величины нужно включать только в один интервал. Вычисляем среднее арифметическое значение для каждого интервала:

- для интервала q=1 х_q1ср=(115+121)/2=118;

- для интервала q=2 х_q2ср=(124+128+131)/3=127, 7;

- для интервала q=3 х_q3ср=(132+133+136+137)/4=134, 5;

- для интервала q=4 х_q4ср=(142+142+146+147)/4=144, 25;

- для интервала q=5 х_q5ср=(152+157)/2=154, 5

МХ=118*0, 133+127, 7*0, 2+134, 5*0, 266+144, 25*0, 266+ +154, 5*0, 133=135, 93»136

2. Математическое ожидание случайной величины это число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений (это определение ещё называют классическим).

(2),

где

x_i –значение случайной величины;

p_i –вероятность появления i-го значения случайной величины Х.

Вероятностью р_i называется отношение числа свершившихся элементарных событий m к числу всех событий n, , где

m – в нашем случае это число значений случайной величины, выбранных из статистического ряда по одному, m=1;

n – количество всех значений случайной величины в статистическом ряду, n=15. Пусть вероятность появления любого значения случайной величины из статистического ряда абсолютно одинакова и равна

p_i = 1/15=0, 067

таблица 5

Используя формулу (2), вычисляем математическое ожидание

=

=0, 067*(137+124+147+131+132+152+115+146+121+133+142+ +128+142+136+157) = 0, 067*2038=136, 88»137

3. Часто математическое ожидание называют средним статистическим значением, так как оно указывает некоторое ² среднее число², около которого группируются все значения случайной величины (данное определение применимо только для случайной величины, все значения которой имеют равные вероятности).

(3)

MX=(137+124+147+131+132+152+115+146+121+133+142+128+142+136+157)/15=136, 2

Математическое ожидание, вычисленное по формулам (1), (2), (3) должно иметь примерно одинаковое значение.

4. Другой важной числовой характеристикой случайной величины является её дисперсия. Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса, рассеивание случайной величины относительно её математического ожидания и вычисляется по формуле:

=0, 067*[(137-137)²+(124-137)²+(147-137)²+(131-137)²+

+(132-137)²+(152-137)²+(115-137)²+(146-137)²+(121-137)² +(133-137)²+(142-137)²+(128-137)²+(142-137)²+(136-137)² +(157-137)²] =128, 9

5. В случаях группировки данных дисперсия вычисляется по следующей формуле:

=(118-136)²*0, 133+(127, 7-136)²*0, 2+(134, 5-136)²*0, 266 + +(144, 25-136)²*0, 266+(154, 5-136)²*0, 133=121, 09»121

6. Среднеквадратическое отклонение показывает отклонение случайной величины от математического ожидания на определённую величину σ в ту или иную сторону:

=11, 35