Обработка результатов измерений методами математической статистики

2.1 Методика построения эмпирической кривой

Если точность отсчётов по шкале и число измерений велико, то распределение ошибок можно изобразить графически в виде закона нормального распределения погрешности (Гауссовское распределение ошибок). Распределение называется нормальным, если плотность вероятности подчиняется нормальному закону: 2.1

У – полтность вероятности появления случайной ошибки Δ х

Х – результат отдельного измерения

А – истинное значение случайной величины

σ – среднеквадратическая погрешность измерений

Так как истинное значение а всегда неизвестно, то вместо а берётся среднеарифметическое значение х из n измерений. Если число измерений равно или больше 25, можно использовать формулу:

Отклонение от среднеарифметического

Как известно из теории ошибок, среднее арифметическое х должно удовлетворять условиям:

1. Сумма

2.

При числе измерений не менее 25 среднеарифметическое определяется:

Кроме среднего значения и дисперсии (квадрат среднеквадратического отклонения), кривые распределения характеризуются асимметрией (А) и эксцессом (Е)

С увеличении м высоты кривой, характеризующей закон нормального распределения, увеличивается и точность измерений. А сама высота кривой h характеризует точность измерений и называется мерой точность. При небольшом числе измерений (10-12) средняя квадратическая ошибка полнее отражает влияние крупных ошибок, чем средняя ошибка.

Сравним 2 ряда измерений одной и той же величины:

1) +1, 0, -4, +3, -2, +3, -2, +3, -2, +3, -2, +2,

2)-7, +1, +8, 0, +2, -1, 0, -1, +1, -1

Из полученных результатов видно, что второй ряд измерений по точности хуже первого. В теории вероятности доказывается, что при n, стремящемся к бесконечности между средней и среднеквадратической ошибками существует связь: , между мерой точности h и средней ошибкой: , а между мерой точности и среднеквадратической ошибкой: .

Точность и над1жность полученных значений среднего и среднеквадратического отклонения оценивается доверительной вероятностью и доверительным интервалом. Так как истинное значение Мх и σ неизвестны, найдём доверительный интервал +-Е, в который попадает истинное значение Мх, при заданной доверительной вероятности:

Поскольку измеряемая величина Хi распределена по нормальному закону, то и ошибка измерения δ распределена по нормальному закону , причём её среднее значение должно быть равно нулю.

Среднеквадратическое отклонение ошибки сигма дельта и исходного случайного процесса связаны соотношением: