Принцип подобия, как основа физического моделирования однофазных систем.

Принцип подобия позволяет из класса явлений, описываемых дифференциальными уравнениями, выделить при помощи приведения их к безразмерному виду группу «подобных» между собой явлений.

Подобие явлений. Подобными называются явления, у которых все характеризующие их величины в любой точке пространства на­ходятся в одинаковых отношениях между собой. В этом случае подо­бие называется полным. Если же подобие соблюдается лишь для не­которых величин, то оно называется частичным.

Так как всякий процесс протекает в определенном геометрическом контуре, то прежде всего устанавливают подобие геометрическое и затем подобие физическое, характеризующее данный процесс.

Геометрическое подобие. Простейшее представление о геометриче­ском подобии двух фигур известно из геометрии. Если рассматривать линейные размеры фигуры не только как скалярные величины, но и как имеющие определенное направление, то подобные фигуры должны быть так расположены в пространстве, чтобы их аналогичные размеры были параллельны друг другу.

Отношение аналогичных размеров модели и натурного объекта называется масштабом модели. Взяв какой-либо линейный размер модели l_м и разделив его на соответствующий размер натуры l_н, полу­чим линейный масштаб модели

(1)

. Сравним по этому принципу две мешалки различных размеров где диаметры мешалок D₁ и D₂, высота уровней перемешиваемой жидкости H₁, H₂, диаметры лопастей мешалок d_м1 и d_м2 , высоты лопастей h_м1 и h_м2, то, чтобы указанные аппараты были подобны, необходимо соблюдение равенств:

(2)

В условиях геометрического подобия

(3)

Однако геометрическое подобие аппаратов удобнее выражать, вводя определяющий геометрический размер. Так, если в рассматриваемой модели аппарата с мешалкой за определяющий размер принять диаметр лопасти мешалки d_m и с ним сравнивать в данной модели все основные размеры:

(4)

то геометрическое подобие будет соблюдаться, если в любом другом аппарате при той же определяющей характеристике сохранится одинаковое значение безразмерных отношений i_D, i_H, i_h, т.е.

(5)

Безразмерные отношения i_D, i_H, i_h и т.д., сохраняющие одно и тоже значение в модели и натуре, называются инвариантами геометрического подобия.

Таким образом, геометрическое подобие будет соблюдаться тогда, когда инварианты геометрического подобия в сравнимых системах сохраняют одно и то же значение, т.е.

i_D=idem,

i_H=idem, (6)

i_h=idem.

Между собой инвариантны геометрического подобия могут быть численно и не равны. Безразмерность инвариантов подобия позволяет переносить условия геометрического подобия на аппараты любых размеров, важно лишь, чтобы отношение данного размера к определяющему следовало равенству (6). При движении потоков в трубах, каналах или промышленных аппаратах за определяющий размер принимают эквивалентный диаметр d_э, совпадающий для круглых труб с диаметром трубы.

Физическое подобие. По аналогии с геометрическим подобием физическое подобие соблюдается тогда, когда инварианты его сравнимых системах сохраняют одно и то же значение.

Инварианты физического подобия так же, как и инварианты геометрического подобия, должны быть величинами безразмерными. Но поскольку физическое явление характеризуется рядом физических величин (скорость, плотность, вязкость и т. п.), то составление из этих величин безразмерных отношений представляет основную задачу метода подобия.

Решение этой задачи осуществляется двумя путями: 1) при помо­щи подобного преобразования дифференциальных уравнений, 2) при помощи анализа размерностей.

Подобное преобразование дифференциальных уравнений. Так как дифференциальное уравнение представляет математическую модель описываемого им физического явления, то его подобное преобразова­ние означает подобие моделей явлений. Границы соблюдения этого подобия устанавливаются опытным путем. В результате подобного преобразования дифференциальных уравнений последние заменяются так называемыми критериальными уравнениями. В этом случае ин­варианты физического подобия называются критериями подобия,

Подобное преобразование сводится к замене физических величин под дифференциальными операторами конечными величинами.

На примере уравнения движения вязкой жидкости можно пока­зать, как осуществляется подобное преобразование дифференциальных уравнений.

Для этого система уравнений (II, 40) запишется для одномерного установившегося движения относительно оси z:

(7)

При изменении длины грани dz уравнение (7) приводится к виду

(8)

Уравнение (8) представляет математическую модель движу­щейся вязкой жидкости, обладающей силой инерции () и дви­жущейся под действием сил тяжести (), сил давления и сил трения , В уравнении (8) силы отнесены к единице объема и действуют они на длине dz.

Аналогично представлению об инвариантах геометрического подо­бия проведем сопоставление всех действующих сил с силой инерции. Отношение этих сил к силе инерции (или наоборот) должно привести к получению безразмерных отношении.

Заменим дифференциальные выражения конечными:

сила инерции , (9)

сила тяжести , (I0)

сила давления , (II)

сила трения (I2)

Возьмем отношение сил Инерции к силе Тяжести, тогда получим

(13)

Если в сравниваемых системах движущихся жидкостей безразмер­ный комплекс (13) сохраняет одно и то же значение, т. е.

(14)

то этот комплекс является инвариантом физического подобия по дей­ствию сил тяжести и называется критерием Фруда:

(15)

Взяв отношение сил Давления к силе Инерции, получим

(16)

Если в сравниваемых системах движущихся жидкостей безразмер­ный комплекс (16) сохраняет одно и то же значение, т. е.

комплекс является инвариантом физического подобия по дей­ствию сил давления и называется критерием Эйлера:

(17)

Наконец, взяв отношение силы Инерции к силе Трения, получим

(18)

Если в сравниваемых системах движущихся жидкостей безразмерный комплекс (18) сохраняет одно и то же значение, т. е.

(19)

то этот комплекс является инвариантом физического подобия по дей­ствию сил внутреннего трения или сил молекулярной вязкости и на­зывается критерием

Рейнольдса:

Так как отношение плотности жидкости к ее вязкости представляет

кинематическую вязкость, то критерий Рейнольдса можно представить в следующем виде:

(20)

Таким образом, выполненное преобразование позволяет диффе­ренциальное уравнение движения заменить уравнением, выраженным в критериях подобия, в виде функции

(21)

Вид функциональной связи (II, 136) может быть установлен толь­ко опытным путем. Поскольку уравнение (II, 136) связывает между собой различные, критерии, характеризующие действие различных сил в жидкости, то оно может быть названо критериальным уравне­нием установившегося движения вязкой жидкости. Если движение неустановившееся, то изменение скорости жидкости ω со временем τ при данном определяющем линейном размере системы l характеризу­ется критерием неустановившегося движения критерием гомохронности:

(22)

который вводится в критериальное уравнение (II, 136). Тогда крите­риальное уравнение неустановившегося движения вязкой жидкости принимает вид

(23)

Автомодельностъ может наступить при изменении условий протекания процесса. Типичным примером служит сопротивление сил трения движению вязкой жидкости. Как показано в дальнейшем, при значениях кри­терия Рейнольдса ниже определенной величины оно зависит главным образом от величины Re и в малой степени — от шероховатости стенок трубы. Однако при увеличении Rе сверх некоторого критического значения фак­тором, определяющим сопротивление, становится именно шероховатость стенок трубы. Сопротивление перестает зависеть от Re, т. е. процесс становится автомодельным по этому критерию.

В случае автомодельности по данному критерию показатель степени при нем в обобщенном уравнении типа уравнения (11, 86) получается из опыта равным или близким нулю.

Модифицированные и производные критерии подобия. Как следует из теории подобий, некоторые физические величины, входящие в крите­рии подобия, целесообразно заменять на другие, им пропорциональные. Так, при описании процессов перемешивания, подставляя в Re значение окружной скорости мешалки, исключают из выражений скорости постоянные множители, т. е. подставляют в Re произведение диаметра мешалки на число ее оборотов. Получавшие при этом видоизмененные критерии называют модифицированными.

В ряде случаев оказывается затруднительным или даже практически невозможным определить или начислить ту или иную физическую величину, входящую в критерий подобия. Тогда эту величину исключают путем сочетания двух или большего числа критериев и получения сложных, или производных, критериев подобия, составленных из основных. При этом исключенную величину обычно заменяют на другую, ей пропорциональную, опытное или расчетное определение которой является более простым.

Так, например, при естественной конвекции, возникающей вод дей­ствием разности плотностей жидкости, обусловленной различием температур в разных ее точках, очень трудно определить скорость конвективных токов. Однако эта скорость входит в критерий Фруда, отражающий подобие таких процессов. Поэтому исключают скорость путем сочетания критериев Рейнольдса и Фруда:

Полученный комплекс величин представляет собой производный кри­терий, который носит название критерия Галилея:

Умножая этот критерий на разность плотностей жидкости в различных ее точках, выраженную в относительных единицах, - (эта разность является причиной возникновения конвективных токов), находят новый производный критерий — критерий Архимеда:

(24)

Если заменить симплекс пропорциональной ему относительной величиной разности температур, более удобной для определения в опытах, то можно получить новый производный критерий, являющийся критери­ем теплового подобия Грасгофа.

Все критерии подобия имеют четкий физический смысл и область применения. Если критерий Рейнольса выражается отношением сил инерции к силам трения, то он характеризует режимы течения жидкостей. Критерий Фруда определяется отношением сил инерции к объемным сила, включая гравитацию и отражает уровень кинетических сил в жидкости. Отношение нормальных сил давления к силам инерции (критерий Эйлера) характеризует условия гидротранспорта жидкостей. Критерий Струхаля определяется отношением сил конвекции и сил инерции характеризует условия перемешивания в жидкости.