Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потеке вязкой жидкости эле­ментарный параллелепипед (рис.1) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений τ. Рассмотрим первоначаль­но относительно простой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в направлении оси х, когда проекция скорости зависит только от расстояния z до горизонтальной плоскости отсчета.

Рис.1. К выводу уравнений Навье-Стокса.

Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно τ, то на верхней оно составляет

При этом направления касательных напряжений на нижней и верхней гранях обусловлены, например, тем, что более медленные выше­лежащие слои жидкости затормаживают слой, в котором находится парал­лелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его. Производная выражает изменение касательного напряжение вдоль оси z в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда, a представ­ляет собой изменение этого напряжения вдоль всей длины dz ребра парал­лелепипеда.

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х

(8)

Подставив в это выражение значение касательного напряжения τ по уравнению Ньютона: , где μ — вязкость жидкости, получим

(9)

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости будет изменяться не только в направлении z, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х примет вид

(10)

Сумму вторых производит по осям координат называют оператором Лапласа:

(11)

Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось x мо­жет быть представлена как

Соответственно проекции равнодействующей сил трения на ось y:

на ось z

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жид­кости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выво­де уравнений Эйлера), составляют:

на ось х

на ось y

на ось z

Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости ( -плотность жидкости), заключенной в элементарном объеме, на проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая проек­ции равнодействующей произведениям массы на проекции ускорения, после сокращения на dxdydz, получим

(12)

где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившееся потоков уравнениями (12)

Уравнения (12) представляют собой уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидкости.

Дифференциальные уравнения вихревого движения жидкости (Громеки)

Разделим правую и левую части уравнения Эйлера на плотность жидкости ρ:

(13)

Полная скорость частицы, через осевые составляющие определяется по уравнению:

(2)

Частные производные от обоих частей уравнения (2) по xyz будут:

(3)

Вычитая из обеих частей уравнения Эйлера (1) равенства (3 – поступательное движение) после перегруппировки с выделением элементов вращения, получим

(4)

Обозначая

, ,

получим

Иногда эти уравнения называют уравнениями Эйлера в форме Громеки.