Бульдік айнымалылармен есептер

Бульдік айнымалылар есебі ізделінетін айнымалылар x_j кез келген бү тін мә нді емес, тек мына екеуінің: 0 немесе 1 біреуін қ абылдайтын, бү тін санды айнымалы есептерінің жекеленген тү рілеріне жататын есеп. Мұ ндай айнымалыларды бү тін санды-лардан ажырату ү шін, x_j орнына δ _j мен белгілейміз. Осындай айнымалыларды бірінші рет ұ сынғ ан ағ ылшын математигі Джордж Бульдің қ ұ рметіне оларды бульдік айнымалылар деп атағ ан. Кейде оларды екілік айнымалылар деп те атайды.

Халық шаруашылығ ында, оның ішінде ауыл шаруашылы-ғ ында, бульдік айнымалы есептер жиі кездеседі. Мысалғ а, тә жірибеде бір мә селені бірнеше нұ сқ ада шешуге болады, ал олардың қ айсысы тиімді? Сө зсіз, тиімді нұ сқ аны шешімдер ішінен таң дау қ ажет. Осындай бір қ арапайым есепті шешу арқ ылы, бульдік айнымалыларды қ олдану тә сілдерін қ арастырайық.

Есеп. Шаруа қ ожалығ ында бар қ орларды 4 нұ сқ ада қ олдануғ а болады. Бірақ, ә рбір нұ сқ ада ә ртү рлі шамада пайда алынады жә не қ орлар да ә ртү рлі мө лшерде қ олданылады. Максималды пайда да қ орлар тиімді қ олданылмауы немесе аз пайдамен қ орлар шығ ынын азайтып, оларды басқ а мақ сатқ а қ олдану тиімді болуы мү мкін. Сонымен, “қ орларды қ андай нұ сқ ада қ олданғ ан тиімді? ” деген сұ рақ қ а жауап табу керек.

Жалпы есепті шығ аруғ а керекті мә ліметтерді 2.4-кестеден алуғ а болады.

2.4-кесте. Шаруа қ ожалығ ында қ орларды қ олдану нұ сқ алары

Осы кестеде келтірілген нұ сқ алардың қ айсысы шаруашы-лық қ а пайдалы немесе қ андай нұ сқ аларды сә йкес қ олданғ анда пай-далар сомасы максималды болатынын табу керек.

Мынадай шартты қ абылдайық:

Олай болса есептің математикалық моделі мына тү рде жазылады:

Z = 70 δ ₁+ 80 δ ₂ + 90 δ ₃ +210 δ ₄ → max

10 δ ₁+ 15 δ ₂ + 22 δ ₃ +28 δ ₄ ≤ 50

200 δ ₁ + 1802 δ ₂ +240 δ ₃ + 250 δ ₄ ≤ 650

0 ≤ δ _j ≤ 1; i = 1, 2, 3, 4

δ _j – бү тін сандар, i = 1, 2, 3, 4

Бульдік айнымалы есептерді шешу. Есептің MS Excel жұ мыс бетіне кестелік модель қ ұ рылады (2.9-сурет). Сервис → Поск решения қ ұ ралын қ осып, сұ хбаттасу терезесіне мақ сат функция адресін F7 жә не бағ ытын Максимальное белгілейміз. Айнымалылар: B3: E3 ұ ясын енгіземіз.

2.9 - сурет

Шектеулер шарттарын енгізуді бастаймыз. Бульдік айныма-лылардың тө менгі: B3: E3 ≥ B4: E4 жә не жоғ арғ ы: B3: E3 ≤ B5: E5 шектеулерін жә не бү тін сан болу талабын: B3: E3 – целые. Пара-метры батырмасын басып, келесі сұ хбаттасу терезесіне ө тіп, одан Линейная модель жолын белгілеп, ОК жә не Выполнить батырма-ларын іске қ осамыз. Есептің шешімі 2.10-суретте кө рсетілген. Алынғ ан нә тижеде: δ ₃= 1, δ ₄ = 1, сө йтіп, пайда Z = 300 максимал-ды болатын 3 жә не 4 нұ сқ аларды қ абылдау керек.

2.10 - сурет

Бульдік айнымалы есептерде есептің нә тижесін талдау тә сілдерінің барлық тү рін қ олдануғ а болады. Солай болғ анымен де, тек нә тижені талдаудан тұ ратын, бү тін сандылар есептері, оның ішінде бульдік айнымалылар есептері ү шін оң тайлы шешімді талдау ешқ андай да жаң алық емес. Демек, бульдік айнымалы есеп-терінің ә ртү рлі шектеулерінде оң тайлы шешімдерін іздегенде, нұ сқ алық талдауғ а қ арағ анда тә жірибеде қ ұ рамдық талдау жасау қ ызық ты. Сондық тан шешімнің 1-ші нұ сқ асын сақ таймыз. Ол ү шін Сохранить сценарий... батырмасын басып, осы сақ талғ ан нә тиже-нің атын, яғ ни «1 -нұ сқ а» депенгіземіз де, ОК жә не ОК батырмасын басамыз.

Бульдік айнымалыларды қ олдану арқ ылы шығ арылатын есептерге мынадай: «если...., то...» жә не т.б. кө птеген логикалық шарттарды қ оюғ а болады. Осындай шарттардың кейбіреуін қ арас-тырайық.

Егер оң тайлы шешімге міндетті тү рде (ДОЛЖЕН) бір нұ сқ а немесе (ИЛИ) басқ а нұ сқ а болса, онда осы шарт мына тү рде жазылады:

δ _i + δ _j = 1.

Егер оң тайлы шешімге мү мкін (МОЖЕТ) бір нұ сқ а жә не (И) басқ а (енеді немесе енбейді) болса, онда осы шарт мына тү рде жазылады:

δ _i + δ _j ≥ 0.

Мына жағ дайда – егер оң тайлы шешімге i - нұ сқ а қ абылдан-ғ анда j - нұ сқ а міндетті тү рде енетін болса, онда осы шарт мына тү рде жазылады:

δ _i = δ _j немесе δ _i - δ _j = 0.

Сө йтіп, міндетті болғ ан жағ дайда тең дік белгісі «=», ал мү мкін болғ ан жағ дайда тең сіздік “≥ ” белгісі жазылады.

Демек, қ абылданғ ан k -нұ сқ ада i немесе j нұ сқ алардың біреуінің қ абылдануының шарты былай жазылады:

δ _i + δ _j = δ _k немесе δ _i + δ _j - δ _k = 0.

Осыларғ а сә йкес ү ш нұ сқ алар ү шін де логикалық шарттар жазуғ а болады. Сө зсіз, мұ ндай логикалық шарттар шектеусіз. Сонымен логикалық шарттарды жазу тә ртіптерімен танысқ аннан кейін бульдік айнымалы есептерді қ ұ рамдық талдауғ а кө шеміз.

Айталық, жоғ арыда қ арастырылғ ан есепте:

а) егер 4-нұ сқ а қ абылданса, онда 2-нұ сқ а да қ абылданатын болсын, яғ ни δ ₂ = δ ₄ немесе δ ₂ - δ ₄ = 0;

б) барлық нұ сқ алар ішінен кем дегенде 3 нұ сқ а бірдей қ абылдануғ а тиіс делік, онда: δ ₁ + δ ₂ + δ ₃ + δ ₄ ≥ 3.

Енді осы қ ойылғ ан шарттарды есептің MS Excel-дің жұ мыс бетіне кестелік моделіне енгізіп, оны шешу жағ ын ойластырайық (2.11-суретті қ араң ыз).

Бірінші кезекте есепті а) шартымен шешеміз. Сервис→ Поиск решения... Добавить... F12=H12, мұ ндағ ы F12 ұ ясында, яғ ни қ осымша шектеудің сол жағ ы: =СУММПРОИЗВ(B12: E12; $B$3: $E$3) формуласы жазылғ ан. ОК, Выполнить жә не Сохра-нить сценарий... батырмасын басып, осы сақ талғ ан нә тиженің атын «2 -нұ сқ а» депенгіземіз де, ОК жә не тағ ы да ОК батырмасын басамыз.

Екінші кезекте б) шарты бойынша есепті шешеміз. Жоғ арыдағ ы іс-ә рекеттер сол реттерімен тағ ы да қ айталанылады. Тек F12 = H12 шарты шектеулер жү йесінен алып тасталынады. Оның орнына Добавить... кө мегіменF13 > =H13, мұ ндағ ы F13 ұ ясында, яғ ни қ осымша шектеудің сол жағ ы: =СУММПРОИЗВ-(B13: E13; $B$3: $E$3) формуласы жазылғ ан. Нә тиженің атын «3 -нұ сқ а» депенгіземіз де, сақ таймыз. Осымен есепті, шектеулердің 3-нұ сқ асын да шығ ару жұ мысы аяқ талды.

2.11-сурет

Сценарияларда жинақ талғ ан есепті алуғ а мынадай ә рекеттер арқ ылы кірісеміз: Сервис→ Сценарии.., Отчет (есеп) ...Структура жә не ОК, қ ұ рамдық талдау нә тижелерін алдық.Экранда: Сценария қ ұ рамы. Кө зге кө рнектілеу ү шін біраз тү зетулер енгіземіз. Тү зету-лерден кейін с ценария қ ұ рамы 2.12-суретте кө рсетілген.

2.12-сурет

Осы деректер бойынша диаграмма тұ рғ ызылды (2.13-сурет).

Диаграммадан қ осымша енгізілген логикалық шарттар мақ -сат функцияғ а қ алай ә сер ететінін байқ ауғ а болады. Сонымен, кезкелген қ осымша шектеулер сияқ ты, логикалық шарттар мақ сат функция мә нін жақ сартпай, тө мендетеді деп қ ортындылаймыз.

2.13-сурет