Осалқылық теориясын қолдану арқылы есепті талдау

Қ орларды оң тайлы қ олдануғ а арналғ ан есептің математи-калық моделін қ арастырайық.

Мақ сат функция:

мына шектеулерде:

Осы есептің қ осалқ ы есебі:

мына шектеулерде:

Қ осалқ ылық тың бірінші теоремасы. Егер қ осалқ ы жұ п есептердің біреуінің оң тайлы жоспары болса, онда екіншісінің де оң тайлы жоспары болады жә не мақ сат функцияларының мә ндері осы оң тайлы жоспарда бір-біріне тең, яғ ни Zmax = Fmіn.

Егер Z®max (қ осалқ ы есеп ү шін F®mіn), ал шектеулердің тү рі: “£ ” (қ осалқ ы есеп ү шін “³ ”) немесе Z®mіn, (қ осалқ ы есеп ү шін F®max), ал шектеулер “³ ” (қ осалқ ы есеп ү шін “£ ”) тү рде жазылады, керісінше жағ дайда есептің шешімі жоқ.

Қ осалқ ылық тың 2-ші теоремасы. Тек мына қ атынастар орын-далғ анда:

бастапқ ы есептің жоспары жә не қ осалқ ы есептің жоспары оң тайлы делінеді.

Осы кө рсетілген жағ дай, бір-бірімен қ осалқ ыланғ ан екі есептің біреуінің оң тайлы шешімі бойынша екіншісін анық тайды.

2-ші теореманың маң ызы: егер қ осалқ ы бағ алар у _і> 0, онда қ орлар жетімсіз (яғ ни олар толығ ымен қ олданылғ ан, ал олардың қ олданбағ ан мө лшерлері S _i=0). Егер у _і=0, онда і -қ ор мө лшері артық, сондық тан S _i> 0. Егер у _і< 0, онда оң тайлы мә ні ізделініп отырғ ан і -айнымалының мә ні ең шеткі тө менгі шегіне тең, оның бір бірлікке ө суі мақ сат функция мә нін қ осалқ ы бағ аның мә ніне кемітеді.

Қ осалқ ылық тың 3-теоремасы. Қ осалқ ы есептің оң тайлы шешіміндегі y _і-ң мә ні, бастапқ ы есептің шектеулерінің бос мү ше-лерінің (b _і) мақ сат функцияғ а ә серлігінің бағ алары, яғ ни егер b _і®D b _і бірлікке ө згерсе, мақ сат функция (DZ) қ аншағ а ө згеретінін кө рсетеді немесе математикалық тү рде:

,

мұ ндағ ы y _і – b _і-ң қ осалқ ы бағ асы (тә жірибеде ө те маң ызды кө рсеткіш. Оны ө ндірістік қ ордың жалпылама объективті бағ асы немесе кө лең келік қ ұ ны немесе қ ұ ндылығ ы деп атайды ).

Қ осалқ ылық тың 3-теоремасынан:

,

мұ ндағ ы онда . Осы тең діктен, егер есеп қ орларды оң тайлы қ олдануғ а бағ ытталғ ан болса, онда і -қ ордың мө лшерінің ө згеруі мақ сат функция мә нінің сызық ты байланыста ө згеруін кө рсететінін байқ ауғ а болады.

Егер y _і-мә ні аз мө лшерде болса, онда і -қ ор мө лшерінің шама-лы ө згеруіне оң тайлы табыс мә нінің аздап қ ана ө суі сә йкес келеді, яғ ни і -қ ордың қ ұ ндылығ ы онша кө п емес.

Егер y _і = 0, онда і -қ ор мө лшері кө бейсе де оң тайлы табыс мә ні ө згермейді, себебі осы қ ордың ө ндірістегі қ ұ ндылығ ы нө лге тең, яғ ни қ ор қ ұ нсыз. Шындығ ында да, егер шикізаттың (қ ордың) мө лшері ө зіне қ ажеттілік мө лшерден кө п болса, онда оның қ ажет-тіліктен қ алғ ан бө лімі ө ндіріске керек емес, яғ ни ол қ ұ нсызданады жә не оны нө лге тең естіреді.

Егер y _і- мә ні кө зге тү сетіндей жоғ ары болса, онда і -қ оры мө лшерінің шамалы ө згерісі оң тайлы табыс мә ніне кө п ө згерістер тудырады, яғ ни і -қ орының ө ндірісте қ ұ ндылығ ы жоғ арлайды. Осы қ ор мө лшерінің азайуы ө ндірілетін ө нім кө лемін кө п тө мендетеді.

Сонымен, у _і-айнымалысы і -қ орының қ ұ ндылығ ының сипат-тамасы деп есептелінеді. Мысалғ а, і -қ ор мө лшері бір бірлікке ө ссе (Db _і=1) оң тайлы табыс мә ні y _і- бірлігіне ө седі. Сондық тан y _і-ді қ ордың «Шартты қ ұ ны», і -қ оры бірлігінің бағ асы, жалпылама объективті бағ а ретінде қ арастырады.

Қ осалқ ы бағ а y _і-оң тайлы табыстың і -қ оры бойынша жекелен-ген туындысы, сондық тан ол, і -қ ор мө лшері ө згеруіне байланысты оң тайлы табыс мә нінің ө згеру жылдамдығ ын сипаттайды. Сонымен қ атар, y _і-бойынша мақ сат функцияның мә ніне шектеулер қ андай дә режеде ә сер ете алатынын анық тауғ а болады.

Қ орлар мә нінің қ андай ө згеру аралық тарында олардың қ ұ н-дылығ ы (у _і) ө згерізсіз қ алатынын мына формулалармен анық -тайды:

мұ ндағ ы х_j –оң тайлы шешімдегі айнымалылардың мә ні;

d_іj = A^-1, оң тайлы шешімдегі A=(a_іj)_{m´ n} базисіне кері

матрица.

Егер жоспарғ а жаң а ө німдердің тү рлері енгізілсе, онда олар-дың бағ асы мына формула арқ ылы табылады:

Егер болса, онда жаң а ө нім жоспарды жақ сартады, ал болғ ан жағ дайда жаң а ө німді жоспарғ а енгізудің қ ажеті жоқ.

Қ осалқ ы есептің экономикалық талдау ә дістерін тә жірибелік есептің шешімі бойынша қ арастырайық.

Мысал: Фирма 4 тү рлі (А, Б, В, Г) шикізаттан (олардың мө лшері: 18; 16; 8 жә не 6 тонна) ү ш тү рлі бұ йымдар шығ арады. Ә р- тү рлі бұ йымдар ү шін ә рбір шикізаттың шығ ыны мынадай: 1-ші бұ йымның бір бірлігіне: А ®1, Б ®2, В ®1, Г ®0 тонна, сә йкесін-ше, 2-бұ йымның бір бірлігіне: 2; 1; 1; 1 жә не 3-бұ йымның бір бірлігіне: 1; 1; 0; 1. Ә рбір бұ йымның бір бірлігінен тү сетін пайда 1-шіден –3 ақ ша бірлігі (а.б.), 2-ден – 4 а.б. жә не 3-ден – 2 а.б.

Табу керек:

– максимальды пайда келтіретін ү ш тү рлі бұ йымдарды ө ндіру жоспарын;

– ә рбір шикізаттың қ ажеттілік қ ұ нын;

– шикізаттар ө згерісі (мысалғ а, А – 6 тоннағ а кө бейсе, Б –3 тоннағ а кемісе, В –2 тоннағ а жә не Г –2 тоннағ а кө бейсе) максимальды пайдағ а қ алай ә сер ететінін, сонымен қ атар ә рбір шикізаттың ө згерісі жә не барлығ ының бірдей ө згерісі пайдағ а қ алай ә сер етеді;

– фирмағ а 4-ші жаң а бұ йым ө ндірумен айналысу пайдалы ма? Бұ л бұ йымның бір бірлігіне шикізаттардың шығ ыны жоғ арыда кө рсетілген реттеріне сә йкес мынадай: 1; 2; 2; 0 а.б., ал оның бір данасынан алынатын пайда 15 а.б.

Шешімі: 1. Бұ йымдарды оң тайлы ө ндіру жоспарын мына тү рде: (х ₁, х ₂, х ₃) белгілеп, есептің математикалық моделін жазайық. Максимальды пайдағ а жету кө зделінетін есептің мақ сат функциясы:

мына шектеулерде:

Модельде шектеулер жү йесінің ә рбір y _i – і- тең сіздіктің қ осалқ ы бағ асы. Қ осалқ ы есептің моделін қ ұ райық.

Егер есепті компьютер кө мегінсіз симплекс ә дісімен қ олмен шығ аратын болсақ, онда мақ сат функцияларды мына тү рде жазып:

– тура есеп

– қ осалқ ы есеп

шектеулерді тең дікке тү рлендіреміз:

Тура есеп (ТЕ)Қ осалқ ы есеп (Қ Е)

Кө ріп отырмыз, модельге қ осымша (S_i –тура есепке жә не v _i- қ осалқ ы есепке) айнымалылары енгізілген, нә тижесінде шектеулер жү йесі тең сіздітерден тең дік тү ріне ауыстырылғ ан. Қ осымша айнымалылар S_i шамалары аталғ ан шикізаттардың қ олданылмағ ан мө лшерлерін кө рсететінін, ал қ осымша қ осалқ ы айнымалылар v _i шамалары, оғ ан сә йкес негізгі айнымалының мә ні бір бірлікке ө згергенде мақ сат фукция мә ні осы шамағ а ө згеретінін, атап ө тейік.

Қ осалқ ылық тың 1-теоремасы бойынша қ арастырылып отыр-ғ ан екі есептің біреуінің шешімін анық тасақ екіншісінің де шешімі табылады.

Бірінші тура есепті симплекс ә дісімен шығ арғ анда ақ ырғ ы симплекс кесте мынадай болды:

1.4- кесте

cj	БП	x1	x2	x3	S1	S2	S3	S4	bi
	S1						– 1	– 1
	x 3					0, 5	– 1	0, 5
	x 1					0, 5		– 0, 5
	x 2					– 0, 5		0, 5
						0, 5		1, 5

Екі есептің бір-бірімен байланыстарын кө рнекі кө рсету ү шін шешім нә тижелерін бір кестеге жинайық (1.5-кесте).

1.5-кесте

1.4-кестеден (5; 3; 3; 4; 0; 0; 0), мақ сат функция

Қ осалқ ылық теоремасы бойынша: , мақ сат функция

Екінші теорема. y ₁= 0 → S ₁= 4 → А шикізатыартығ ымен.

y ₂=0, 5, y ₃=2 жә не y ₄=1, 5 → S ₂=0, S ₃=0 жә не S ₄=0 → Б, В жә не Г шикізаттары жетіспейді.

В заты шикізаттардың ішіндегі ең қ ұ ндысы, оның қ осалқ ы бағ асы y ₃=2, онан кейін қ ұ ндылығ ы жоғ ары Г заты (y ₄=1, 5). Қ ұ ндылығ ы азы Б заты, оның қ осалқ ы бағ асы у ₂ = 0, 5. Ең қ ұ нсызы А заты, оның қ осалқ ы бағ асы y ₁=0.Сө йтіп, қ арастырылып отырғ ан есеп ү шін, шамасы ең кө п жетіспейтін зат қ ұ нды болып есептелін-се, ал шамасы артығ ымен зат қ ұ нсыз болып есептелінеді.

Ү шінші теорема. Ең қ ұ нды В шикі затын қ арастырайық. Фирмадағ ы осы шикі заттың шамасын бір бірлікке ө згертейік, яғ ни жә не в ₃ = 8+1= 9.

Онда , яғ ни – бұ л В шикізатының қ осалқ ы бағ асы y ₃ =2.

Шикізаттар қ оры бағ аларының тұ рақ тылық аралығ ын анық -тау ү шін, оң тайлы шешімдегі шектеулер жү йесінің базистік айны-малылар коэффициенттері матрицаларының кері матрицасын табамыз. Оң тайлы шешімдегі базистік айнымалылар: х ₁, х ₂, х ₃ жә не S₁. Осы айнымалылардың шектеулер жү йесіндегі коэффициент-терінің матрицасы мынадай тү рде (модельді қ араң ыз):

жазылады.

Онда А-матрицаның кері матрицасы мынадай болады (кестені қ араң ыз):

.

Бағ алардың тұ рақ тылық аралығ ын шикізаттардың ә рбір тү ріне іздейік:

.

Бірінші шектеуге байланысты 1-ші шикізаттың бағ асының тұ рақ тылық аралығ ы:

.

Осы сияқ ты, басқ а шектеулерге сә йкес қ алғ ан шикізаттар ү шін бағ аның тұ рақ тылық аралығ ын анық таймыз:

Екінші шектеуге сә йкес 2-ші шикізаттың қ осалқ ы бағ асының тұ рақ тылық аралығ ы:

(16 – 3; 16 + 6) = (13; 22),

Ү шінші шектеуге сә йкес 3-ші шикізаттың:

(8 – 6; 8 + 3) = (2; 11),

Тө ртінші шектеуге сә йкес 4-ші шикізаттың:

(6 – 5; 6 + 3) = (1; 9).

Есептің шарты бойынша шикізаттардың +6; -3; +2 жә не +2 тоннағ а ө згерісі, сә йкес қ орларды мынадай шамағ а жеткізеді: 24; 13; 10; 8 т. Қ орлардың бұ л шамалары қ осалқ ы бағ алардың тұ рақ тылық аралық тарында жатуына байланысты (шикізаттардың тұ рақ тылық аралық тарын қ араң ыз), олардың пайдағ а жеке-жеке ә серлері мына формула арқ ылы анық талынады:

онда

Барлығ ының бірдей пайдағ а ә сері:

ақ ша бірлігі.

Егер шикізаттардың мө лшерлерінің ө згерістері қ осалқ ы бағ аларының тұ рақ тылық аралық тарында жатпаса, онда жаң а жуық талғ ан бағ аларды іздеу керек, яғ ни бағ асының тұ рақ тылық аралығ ында жатпағ ан шикізаттың мө лшерін ө згертіп, қ айтадан есепті симплекс ә дісімен шығ ару қ ажет.

Фирмағ а 4-ші бұ йымды ө ндіруді жоспарғ а енгізудің ұ тымдылығ ын бағ алау ү шін мына формуланы пайдаланамыз:

Сонымен, пайда (15 а.б.) шығ ыннан (10 а.б.) жоғ ары, сондық тан фирмағ а 4-ші бұ йымды ө ндіруді жоспарлағ аны тиімді.