Движение твердого тела с закрепленной осью.

Лабораторная работа 1-21

“Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний”

Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом измерения моментов инерции тел методом крутильных колебаний.

Теоретическое введение

Движение твердого тела с закрепленной осью.

Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь. При этом расстояния между любыми двумя точками тела остаются неизменными. При вращении тела с закрепленной осью все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. При таком движении путь S, скорость v, ускорение а разных точек тела неодинаковы, поэтому для описания движения неудобно пользоваться этими понятиями. Угол поворота α любой точки тела одинаков и может быть использован как мера перемещения тела. Угловое перемещение – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика, модуль которого равен углу поворота тела за время . Угловая скорость характеризует быстроту вращения и равна производной по времени от углового перемещения: . (21.1)

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и угловое перемещение. Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует угловое ускорение: . (21.2)

Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости , если величина угловой скорости увеличивается, и в сторону, противоположную , если ее модуль уменьшается.

Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина линейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r:

. (21.3)

Разделив обе части уравнения (21.3) на , получим: . Так как производная пути по времени – это величина скорости: , а (21.1), то:

. (21.4)

Теперь продифференцируем (20.4) по времени: , или:

, (21.5)

где – касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее быстроту изменения модуля скорости : .

Сформулируем и докажем основной закон динамики твердого тела. Он аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении:

(21.6)

и позволяет определить угловое ускорение твердого тела: угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения . (21.7)

Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: . Плечо силы относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения.

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси ОО (рис.21.1). Разобьем это твердое тело на отдельные элементарные массы Δ m _i. Равнодействующую всех сил, приложенных к Δ m _i, обозначим через F _i. Достаточно рассмотреть случай, когда сила F _i лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения: составляющие сил, параллельные оси, не могут влиять на вращение тела, так как ось закреплена. Тогда уравнение второго закона Ньютона для касательных составляющих силы и ускорения запишется в виде:

. (21.8)

Нормальная составляющая силы обеспечивает центростремительное ускорение и на угловое ускорение не влияет. Из (21.5): где – радиус вращения i-той точки. Тогда

. (21.9)

Умножим обе части (21.9) на :

. (21.10)

Заметим, что

F _ik r _i= F _i sinα r _i= F _i l _i,

где α – угол между вектором силы F _i и радиус-вектором точки r _i (рис.21.1), l _i – перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из центра вращения (плечо силы). Окончательно из (21.10) получим:

. (21.11)

Скалярная величина , равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси ОО:

. (21.12)

Векторы и совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (21.11) можно переписать в векторной форме:

. (21.13)

Просуммируем (21.11) по всем элементарным массам, на которые разбито тело:

. (21.14)

Здесь учтено, что угловое ускорение всех точек твердого тела одинаково, и его можно вынести за знак суммы. В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (21.14) остается суммарный момент только внешних сил: .

Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:

. (21.15)

Таким образом, из (21.14) получим (21.7).

Момент инерции твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движениии аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси).

В случае непрерывного распределения массы сумма в (21.15) сводится к интегралу по всему объему тела: . (21.16)

Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h, внутренним радиусом R ₁ и внешним радиусом R ₂ (рис.21.2) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной dr и высотой h так, что внутренний радиус кольца равен r, внешний – (r+dr) (рис.21.3). Объем такого кольца , где – площадь основания тонкого кольца. Его масса:

. (21.17)

Подставим dm в (21.16) и проинтегрируем по r ():

Масса диска , тогда окончательно: . (21.18)

В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (21.18) R ₁=0, R ₂= R и получим: . (21.19)

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, вычисления по формуле (21.16) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния междуосями:

. (21.20)

В данной работе момент инерции тела (платформы) определяется экспериментально методом крутильных колебаний. Рассмотрим общие закономерности колебательного движения крутильного маятника.

Испытуемое твердое тело 1, имеющее вид диска радиуса R, подвешено на упругой металлической проволоке 2 (рис.21.4) так, что нижний конец проволоки проходит через центр тяжести диска, а верхний закреплен. При повороте диска на некоторый угол aвокруг оси ОО возникают упругие силы, которые стремятся возвратить диск к положению равновесия. Возвращающий момент сил М обусловлен упругими деформациями, возникающими при закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа. При малых углах поворота α можно считать, что этот момент сил прямо пропорционален углу поворота, то есть выполняется закон Гука:

, (21.21)

где – коэффициент пропорциональности, называемый модулем кручения, величина которого зависит от материала проволоки и ее размеров. Знак «–» показывает, что момент упругих сил возвращает тело к положению равновесия, то есть векторы момента сил и углового перемещения направлены в противоположные стороны, их проекции на ось вращения имеют противоположные знаки.

По основному закону динамики вращательного движения (21.7):

, (21.22)

где - момент инерции тела относительно оси ОО, – угловое ускорение. Из (21.2), (21.21) и (21.22) получаем уравнение для угла поворота α:

. (21.23)

Уравнение (21.23) можно записать так: , (21.24)

где принято обозначение: , или: . (21.25)

Уравнение вида (21.24) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является гармоническая функция:

. (21.26)

Здесь ω – круговая частота колебаний, φ ₀ – начальная фаза, φ =ω t+φ ₀ – фаза колебаний в данный момент времени, α ₀ – амплитуда колебаний (максимальное значение угла поворота α). Убедимся в том, что (21.26) является решением дифференциального уравнения (21.24) непосредственной подстановкой, вычислив производные:

;

. (21.27)

Из (21.27) следует (21.24). Вообще, если вторая производная по времени какой-либо физической величины пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса.

Период крутильныхколебаний, то есть время одного полного колебания, найдем из (21.25):

. (21.28)

Из выражения (21.28) находим момент инерции тела: . (21.29)

Для исключения из формулы (21.29) неизвестного модуля кручения К поступают следующим образом. На диск помещают дополнительный груз, момент инерции которого I_груз относительно оси колебаний известен. При этом полный момент инерции тела с дополнительным грузом станет равным I ₁= I+I_груз, и период T ₁ крутильных колебаний изменится: , (21.30)

или: . (21.31)

Поделив почленно (21.31) на (21.29), получим: ,

откуда окончательно для неизвестного момента инерции платформы:

. (21.32)