Вопрос. 5

Связь угловых и линейных скоростей и ускорений. Каждая из точек вращающегося тела движется с определенной линейной скоростью v, направленной по касательной к соответствующей окружности (см. рис. 19). Пусть материальная точка вращается вокруг оси 00' по окружности радиусом R. За малый промежуток времени D t она пройдет путь D s, соответствующий углу поворота Dj. Тогда

и скорость материальной точки определяется соотношениями

то есть

Так как нормальное ускорение равно то с учетом соотношения для угловой и линейной скорости получаем

Нормальное ускорение точек вращающегося твердого тела часто называют центростремительным ускорением.

Дифференцируя по времени выражение для v, находим

где а_t — тангенциальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R.

Таким образом, как тангенциальное, так и нормальное ускорения растут линейно с ростом радиуса R - расстояния от оси вращения. Полное ускорение также линейно зависит от R:

Пример. Найдем линейную скорость v и центростремительное ускорение а_n точек, лежащих на земной поверхности на экваторе и на широте Москвы (j=56°). Мы знаем период вращения Земли вокруг собственной оси Т=24 часа=24х60х60=86 400 с. Отсюда находится угловая скорость вращения

Радиус Земли

Расстояние до оси вращения на широте j равно

Отсюда находим линейную скорость

и центростремительное ускорение

На экваторе j= 0, cos j = 1, следовательно,

На широте Москвы cos j = cos 56°=0.559 и получаем:

Мы видим, что влияние вращения Земли не столь велико: отношение центростремительного ускорения на экваторе к ускорению свободного падения равно

Тем не менее, как мы увидим в дальнейшем, эффекты вращения Земли вполне наблюдаемы.

Вопрос. 6