Тема 1.3 Динамика материальной точки

Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея. Второй закон Ньютона. Принцип дальнодействия. Третий закон Ньютона. Работа силы. Задачи динамики. Дифференциальные уравнения движения точки.

Ключевые слова: динамика, система отсчета, инерциальные системы отсчета, принцип относительности, инерция, сила, масса, инертная масса, гравитационная масса, работа, уравнения движения.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

Движение тел с чисто геометрической точки зрения рассматри­валось в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики, при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начи­нает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела явля­ется физическая величина, называемая массойтела. В класси­ческой механике масса рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобще­ния результатов целого ряда опытов и наблюдений, посвященных изучению движения тел, и проверенные обширной общественно-производственной практикой человечества. Систематически законы динамики были впервые изложены И.Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», издан­ном в 1687 году.

Первый закон (закон инерции): изолированная от внеш­них воздействий материальная точка сохраняет своесостояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.Движе­ние, совершаемое точкой при отсутствии сил, называетсядвижением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи — пребывать неизменно в движении. Этот закон был открыт Гали­леем в 1638 году. Он опроверг господствовавшую со времен Аристотеля точку зрения о том, что движение тела может происходить только под действием силы.

Закон инерции выполняется в инерциальных системах отсчета. Можно ли данную реальную систему отсчета при решении тех или иных задач механики рассматривать как инерциальную, устанав­ливается путем проверки того, в какой мере результаты, полученные в предположении, что эта система является инерциальной, подтверж­даются опытом. По данным опыта для нашей Солнечной системы инер­циальной с высокой степенью точности можно считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направ­лены на так называемые неподвижные звезды. При решении боль­шинства технических задач инерциальной, с достаточной для прак­тики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускоре­ние, которое она получает под действием данной силы, равно по мо­дулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством

.

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависи­мость

.

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непо­средственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т. е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как это следует из закона параллелограмма сил, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей R, равной геометрической сум­ме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

Этот же результат можно получить, используя вместо закона параллелограмма закон независимости действия сил, согласно кото­рому при одновременном действии на точку нескольких сил каждая из них сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Третий закон (закон равенства действия и противодейст­вия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Этот закон играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливаю­щий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.

При взаимодействии двух свободных материальных точек, они, согласно третьему и второму законам динамики, будут двигаться с ускорениями, обратно пропорциональными их массам.

Сила – основная мера механического действия, оказываемого на материальное тело. На движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно переменные силы, модули и направления которых при движении тела изменяются. Переменные силы могут определенным об­разом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В ча­стности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колеба­ния фундамента при работе мотора с плохо центрированным ва­лом; от положения тела зависит ньютонова сила тяготения или сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды.

При решении задач динамики рассматриваются следующие постоянные или переменные силы:

а) сила тяжести. Это постоянная сила, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности:

;

б) сила тяготения. Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном:

,

где - расстояние между материальными телами, ;

в) сила упругости. Эта сила определяется из закона Гука:

,

где -коэффициент жесткости пружины;

г) сила трения Это сила, действующая при отсутствии жидкой смазки на движущееся тело:

,

где - коэффициент трения, - сила реакции опоры;

д) сила вязкого трения. Это сила, зависящая от скорости и действующая на тело при его медленном движении в очень вязкой среде:

,

где - коэффициент сопротивления, - скорость тела.

Для экспериментального определения массы данного тела можно исходить из второго закона Ньютона, куда масса входит как мера инертности и называется поэтому инертной массой. Но можно исходить из закона Всемирного тяготения, куда масса входит как мера гравитационных свойств тела и называется соответственно гравитационной массой. Целым рядом экспериментов установлено, что значения обеих масс совпадают с очень высокой степенью точности. Этот экспериментально установленный факт называют принципом эквивалентности.

Для свободной материальной точки существуют две задачи динамики:

1) первая задача дина­мики: зная закон движения-точки, определить действующую на нее силу;

2) вторая, или основная, задача динамики: зная действующие на точку силы, определить закон дви­жения точки.

Для решения задач динамики точки пользуются одной из следующих систем уравнений:

1) Дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах:

;

2) Дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника:

.

При решении первой задачи динамики если ускорение движущейся точки задано, то действующая сила определяется по второму закону Ньютона. Когда ускорение непосредственно не задано, но известен закон движения точки, то для определения силы нужно воспользоваться дифференциальными уравнениями движения точки.

Решение основной задачи динамики сводится к следующему:

1. Составление дифференциального уравнения движения. Для этого надо:

а) выбрать начало отсчета и провести координатную ось, направляя ее вдоль траектории в сторону движения;

б) изобразить движущуюся точку в произвольном положении и показать все действующие силы;

в) подсчитать сумму проекций всех сил на координатную ось и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения движения.

2. Интегрирование дифференциального уравнения движения.

3. Определение постоянных интегрирования. Для этого используют начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент времени. В некоторых задачах для определения постоянных интегрирования вместо начальных задаются краевыми условиями.

4. Нахождение искомых в задаче величин и исследование полученных результатов.