Задача С2. Общая постановка задачи:

Общая постановка задачи:

Рама, состоящая из двух абсолютно твердых ломаных стержней, соединенных между собой шарниром, закреплена в точке А жесткой заделкой, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках.

На раму действуют пара сил с моментом М=100 Н·м и сила, значение, направление и точка приложения которой указаны в таблице (напри­мер, в условиях № 1 на раму действует сила F₁ = 10 H под углом 30° к го­ризонтальной оси, приложенная в точке D), а также распределенная нагрузка интенсивностью q=20 Н/м, приложенная на участке, указанном в таблице. Если распределенная нагрузка приложена на горизонтальном участке, то она действует вниз, а если на вертикальном, то вправо.

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками, а также реакцию внутренней связи. При окончательных подсчетах принять L =0, 5 м.

Указания. Задача С2 - на равновесие составных конструкций под действием плоской системы сил. Для определения всех силовых факторов в заделке и реакций шарнирной опоры и внутренней связи необходимо рассмотреть равновесие каждого тела, из которых состоит рама, отдельно, учитывая, что силы взаимодействия между телами равны по величине и противоположны по направлению.

Пример С 2. Рама, состоящая из двух изогнутых стержней, соединенных между собой шарниром С, закреплена в точке А жесткой заделкой, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. Определить реакции связей в точках А и B, вызываемые заданными нагрузками, а также реакцию внутреннего шарнира С (рис. С2, а).

Дано: F=20Н, М=50 НМ, q=10H/м.

Решение.

Рассмотрим равновесие отдельных участков рамы, разделив ее в шарнире С. При этом к левому участку рамы (рис С2, в) согласно аксиоме отбрасывания связей будут приложены силы реакции опоры В-Rв и реакция в шарнире С, которую разложим на две сое являющие Хс и Yс, а на правую (рис.С2, б) - реакции заделки: силы Ха и Yа, реактивный момент Ма, реакции шарнира С: Х^/с и Y^/с, модули которых равны Хс и Yс, а направление противоположно.

Составим уравнения равновесия плоской системы сил, приложенной к правой части рамы (рис.С2, в).

1. Σ F_kx=X_c – Fcos 60=0:

2. Σ F_ky = Y_c – F sin 60 + R_B = O;

3. Σ m_c (F_k)=3R_B - 1, 5F sin 60 = 0.

Из (1):

X_c = F cos 60 = 10H,

из (3):

R_B = 1, 5F sin 60 / 3 = 1, 5 • 20 • 0, 866 / 3 = 8.66H

из(2)

Y_c, = F sin 60 - R_B = 20 • 0, 866 - 8, 66 = 8, 66H

Затем составим уравнения равновесия плоской системы сил, приложенной к правой части рамы (рис.С2, б). При этом распределенную нагрузку заменяем равнодействующей Q = 3q = 30 H, приложенной в центре участка приложения нагрузки.

4. Σ F_kx=X_А -X'_С+Q=0

5. Σ F_ky=Y_А-Y'_С=0

6. Σ m_А (F_k)=M_А - M+1, 5Q-3X'_c-2Y'_c=0

Из этих уравнений находим:

X= X'_С - Q= -20 H

Y_A = Y'_C = 8, 66 H.

М_A = М -1, 5Q+3X'c +2Y'= 50-1, 5 ·30 +3·10 +2 ·8, 66=18, 7 Hм.

КИНЕМАТИКА

Задачи К1

Общая постановка задачи:

Точка В движется в плоскости хy (Табл. К 1.1, К 1.2). Закон движения точки задан уравнениями: x= f₁(t), y=f₂(t), где х и у выражены в сантиметрах, t - в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t_i = lc определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное, и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁=lc.

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

x=2t, y=t² (1)

(х, у - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 с

найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение.

Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t.

Отсюда находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. К 1): у = х²/4 (2)

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

и при t=1с: V_1x, =2cм/c, Viy= 2 см/с, V_1y =2, 83 см/с. (З)

Аналогично найдем ускорение точки:

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V² =V² _x+V²_y. Получим

(5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти

числа, найдем сразу, что при t₁=l с 1 a_1τ =1, 4 см/с².

Нормальное ускорение точки аn = √ а^² – а² ד. Подставляя сюда

найденные числовые значения a_1τ и a_1τ , получим, что при t₁= 1 с a_1n= 1, 43 см/с².Радиус кривизны траектории р = V²/a_n. Подставляя сюда числовые значения V₁ и a_1n, найдем, что при t₁=1 с p₁=5, 59 см.

Задача К2

Общая постановка задачи:

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, связанных ременной передачей, зубчатой рейки 3 и груза 4, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1- r₁= 2 см, r₁ = 4 см, у колеса 2– r₂ = 6 см, R₂ = 8 см. На ободьях колес расположены точки А и В.

Положительное направление для φ и ω - против хода часовой стрелки, для S₃, S₄ и V_з, V₄ - вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 с указанные в таблице в столбцах " Найти" скорости (v - линейные, ω - угловые) и ускорения (а - линейные, ε - угловые) соответствующих точек или тел (v₄ - скорость груза 4 и т.д.).

Указания. Задача К2 - на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и r₂; и ко­лесо 3 радиуса Rз, скрепленное с валом радиуса rз, находятся в зацеплении;

на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону S₁=f(t).

Дано: R.₂=6 см, r₂=4 см, R_з=8 см, r_з=3 см, S1 =3t³ (s - в сантиметрах, t - в секундах), А - точка обода колеса 3, t₁=3 с.

Определить: ω ₃, V₄, ε ₃, a_A, в момент времени t = t₁

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через v_i а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса г_i,), - через u_i;.

Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

(1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂ = v₁ или w₂R₂ = v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u₂ = v_з или w₂R₂ = w₃R₃. Из этих равенств находим

(2)

Тогда для момента времени t₁ = 3с получим w_з = 6, 75 с^-1.

Определяем v₄. Так как v₄ = v_в = ω _зr_з, то при t₁=3с v₄=20, 25 см/с.

Определяем ε _з. Учитывая второе из равенств (2), получим

Тогда при t₁=3с ε ₃ =4, 5c^-2

Определяем α _А. Для точки А , где численно α ^τ _А =R₃ε _3, α ⁿ _А =R₃w²₃.

Тогда для момента времени t₁=3с имеем

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.К2.

ДИНАМИКА

Задача Д1

Общая постановка задачи:

Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F, проекция которой F_X на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время

t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. х = f(t), где х = BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действуют сила тяжести R и постоянная сила Q; расстояние от точки А, где v = v₀, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m = 2 кг, R = mv², где m = 0.4 кг/м, vo = 5 м/с, / = 2.5 м,

Fx = 16sin(4t).

Определить: x= f(t) - закон

Решение. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р= mg и R. Проводим ось А_z и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

(1)

Далее находим Р_z = Р = mg, R_z = - R =mv²; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых, они зависят. Учтя еще, что V_z = V, получим

(2)

Введем для сокращения записей обозначения

(3

где при подсчете принято g @ 10 м/с². Тогда уравнение (2) можно представить в виде

(4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем, беря от обеих частей интегралы, получим

(5)

По начальным условиям при z = 0 v = v₀,

что дает C₁= ln(v_o ² – n),

и из равенства (5) находим ln (v² - n) = - 2kz + ln (v_o² - n)

или

ln (v² - n) -

ln (v_o² - n) = -2kz.

Отсюда

В результате находим

(6)

Полагая в равенстве (6) z = l = 2.5 м и заменяя k и n их значениями (3), определим скорость v_b груза в точке В (V₀ = 5 м/с, число е =2.7):

V² _b = 50 - 25/е =40.7 и V_B = 6.4 м/с. (7)

Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость v_b будет для движения на этом, участке начальной скоростью (V₀ = V_в). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р = mg, N и F.

Проведем из точки В ось Вх и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

(8)

Так как Р_x = P sin30° = 0.5 mg, N_x = 0, F_x = 16sin(4t), то уравнение (8) примет вид

(9)

Разделив обе части равенства на m = 2 кг и полагая опять g @10 м/с², получим

(10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

V_x = 5t - 2cos(4t) + С₂ (11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в

точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = О v_x = v_o = v_в, где

v_в дается равенством (7).

Подставляя эти величины в (11), получим

С₂ = v_в + 2 cos 0 = 6.4 + 2 = 8.4 (12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

х = 2.5 t² - 0.5 sin (4t) + 8.4t + С_з

(13)

Так как при t=0 х = 0, то С_з = 0 и окончательно искомый закон движения груза будет

х = 2.5t² + 8.4t - 0.5sin(4t), (14)

где х - в метрах, t - в секундах.