Арифметические операции в двоичной и кратных ей системах счисления.

Арифметические операции в позиционных системах счисления производится по единому алгоритму. Так, сложение двоичных чисел происходит по классическому алгоритму «столбиком» с переносом числа, кратного двум, единицей в следующий разряд.

Рассмотрим этот алгоритм на примере двух двоичных чисел 1010101₂ и 110111₂:

Результат сложения выглядит как 10001100₂. Проверим результат сложения, для чего переведем все числа в десятичную систему счисления:

1010101₂=85₁₀, 110111₂=55₁₀, 10001100₂=140₁₀, 85₁₀+55₁₀=140₁₀.

Двоичная система, являющаяся основой компьютерной арифметики, весьма громоздка и неудобна для использования человеком. Поэтому программисты используют две кратные двоичной системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. В случае шестнадцатеричной системы арабских цифр не хватает, и в качестве цифр используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления помещены в Таблице 1.

Таблица 1. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления

Из Таблицы 1 видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:

10101101₂ → 10 101 101 → 255₈.

2 5 5

Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.

Убедимся в правильности алгоритма:

10101101₂ → 1*2⁷+1*2⁵+1*2³+2*2¹+1*2⁰=173₁₀;

255₈ → 2*2⁶+5*2³+5*2⁰=173₁₀.

Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):

325₈ → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101₂.

011 010 101

Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:

10101101₂ → 1010 1101 → AD₁₆.

А D

Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.

Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:

D5₁₆→ D 5 → 1101 0101 → 11010101₂ → 11 010 101 → 325₈.

D 5 3 2 5

При выполнении заданий на сложение чисел разных систем счисления их нужно перевести в одну систему счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.

Задание 3. (Задание А6 демоверсии 2004 г.)

Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления:

10₂+10₈+10₁₆ =? ₁₀