Методом малых колебаний.

В отличие от оценки статической устойчивости по практическим критериям суть этого метода заключается в исследовании уравнений движения, записанных в виде уравнений малых отклонений.

При установлении простейших условий статической устойчивости (практических критериев) ответ получается только в форме «да - нет», «уйдёт – не уйдёт» режим изначального состояния при малом возмущении системы. При установлении критериев устойчивости, основанных на исследовании уравнений движения – уравнений малых колебаний (малых отклонений), физическая природа происходящих явлений выясняется более полно: устанавливается в любом случае (устойчивость, неустойчивость) характер движения (апериодическое, колебательное – затухающее или нарастающее).

Электрическая система при изучении переходных процессов описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений вида

Σ (А_ijd²х_i/dt²+B_ijdx_i+C_ij)=F_j(t).

Коэффициенты А, В и С – действительные. Они определяются параметрами системы и нелинейными функциями Ф(х_i) от переменных Х_i, характеризующих состояние системы в каждый момент времени; F_j – внешние (возмущающие) силы, переменные во времени, отражающие изменение внешних условий системы.

При F_j(t)=F_j0 система имеет решение

X_i(t)=x_i0;

Dx_i/dt=0;

D²x_i/dt²=0;

Σ C_ijx_i0=F_j0.

Это решение соответствует состоянию равновесия, т.е. определяет параметры установившегося режима электрической системы. При изучении статической устойчивости рассматриваются переходные процессы при условии малости отклонения всех переменных и внешних сил от состояния равновесия. Математически это условие записывается так:

F_j (t) – F_j0=f_j(t);

X_i(t) – x_j0=∆ x_i;

Dx_i/dt=d∆ x₁/dt;

D²x_i/dt²=d²∆ x_i/dt².

Нелинейные функции Ф(x_i), входящие в коэффициенты исходной системы уравнений, линеаризуется в точке, соответствующей состоянию равновесия. Эта процедура заключается в разложении нелинейной функции в ряд Тейлора, оставляет только линейные члены этого ряда.

Приведя линеаризацию по первому приближению, перейдём от системы нелинейных дифференциальных уравнений к системе линеаризованной – линейной. Решение таких систем уравнений с помощью так называемого характеристического уравнения известно из математики.

Будем далее пользоваться им, изучая процессы при действии внешних сил, меняющихся во времени:

Σ (а_ijd²x_i/dt²+b_ijdx_i/dt+c_ij∆ x_i)=f_j(t).

Коэффициенты a, b, c включают в себя частные производные (ð Ф/ð х_ixi0), взятые в точке исходного режима.

С помощью линеаризованных уравнений изучаются переходные процессы:

- вынужденные, при действии внешней – возмущающей силы;

- свободные, после возникновения начальных отклонений и исчезновения внешней силы, вызвавшей эти отклонения.

В первом случае при f_j(t)≠ 0 ротор под действием заданной, например малой синусоидальной возмущающей, постоянно действующей силы совершает малые колебания.

Во втором случае ротор генератора, получивший под действием какой-то (не фиксированной) внешней (возмущающей) силы отклонение от положения равновесия, т.е. от угла δ ₀ на ∆ δ, будучи предоставлен действию только внутренних сил, будет совершать те или иные движения, «возвращаясь» или «уходя» от положения равновесия δ ₀. При заданной внешней возмущающей силе f_j(t) ≠ 0 условия статической устойчивости отличаются от условий динамической устойчивости малостью, которая настолько мала, что процесс практически не зависит от её значения и места приложения f_j(t). Это обстоятельство отражено в решении линеаризованного уравнения, из характеристического уравнения которого влияние значения возмущения и места приложения его, реально существующие, - в силу сделанных допущений исчезли.

Оценка устойчивости нелинейной системы возможна по виду корней линеаризованных уравнений. Это было обосновано известным русским математиком А.М. Ляпуновым. Им был предложен (1893) так называемый метод первого приближения, предназначенный для обоснованного исследования тех линейных (линеаризованных) уравнений движения системы, которые получаются после разложения в ряд линейной функции, Находящейся в правой части исходного уравнения. Для теоремы Ляпунова дали строгое обоснование уравнений первого приближения.

Теорема 1 утверждает, что при характеристическом уравнении первого приближения, имеющем корни только с отрицательными вещественными частями, невозмущённое движение устойчиво, и при том асимптотически, каковы бы ни были нелинейные функции в правой части исходного уравнения.

Теорема 2 утверждает, что если в числе корней характеристического уравнения первого приближения имеются корни, вещественные части которых положительны, то невозмущённое движение неустойчиво, каковы бы ни были нелинейные функции в правой части исходного уравнения.

Случай, когда характеристическое уравнение не имеет корней с положительной вещественной частью, но имеет хотя бы один корень с нулевой вещественной частью, является особым случаем. В особых случаях по корням характеристического уравнения линеаризованной системы нельзя сделать заключение об устойчивости исходной системы. Для получения такого заключения необходимы дополнительные исследования вида нелинейной функции.

4.2.1. Нерегулируемая система, рассмотренная без учёта электромагнитных переходных процессов.

Частный случай, когда в системе предполагается отсутствие регулирования возбуждения и не учитываются переходные процессы, представляется интерес для выяснения влияния этих факторов на предел передаваемой мощности. Частный случай позволяет также выявить зависимость характера процесса от начального режима.

Пусть система представлена схемой на рис.4.6, а. Учтём демпферныймомент упрощённо, введя в уравнение движения член, пропорциональный производной угла с постоянным коэффициентом P_d.

В этой идеализации переходные процессы в электрической системе будут описываться одним нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка

Т_jp²δ +P_d=P_т - Р_эл.

Здесь P_т=Р₀=Р_msinδ ₀ – мощность турбины, определяющая исходный установившийся режим электрической системы (Р_0, δ ₀) (рис. 4.4.), статическая устойчивость которого подлежит проверке; Р_эл= Р_msinδ – электромагнитная мощность синхронного генератора, являющаяся нелинейной функцией одной переменной – угла δ.

Раскладывая Р_msinδ – в ряд Тейлора по малой величине ∆ δ в окрестности δ ₀ (т.е. полагая δ = δ ₀+∆ δ) и оставляя только два (нулевой и линейный) члена разложения или, что то же самое, заменяя участок синусоиды в окрестности δ ₀ касательной, получим

Т_jp²∆ δ +P_dp∆ δ = Р_msinδ ₀ - Р_msinδ ₀ - dР_Эл/dδ) ∆ δ. (4.7)

Введя обозначение с₁=d Р_эл/dδ =(E_q0U/x_dΣ ) cosδ ₀, получим линеаризованное по первому приближению дифференциальное уравнение

Т_jp²∆ δ +P_dp∆ δ +с₁∆ δ =0 (4.8)

Величина с₁ (которую иногда называют синхронизирующей мощностью) зависит от исходного режима и становится равной нулю в режиме, соответствующем Р_m (δ ₀=90°).Уравнение (4.7) имеет решение

∆ δ =А₁е^p1t+A₂e^p2t

Характеристическое уравнение для (4.8)

Т_jp²+P_d+ с₁=0

имеет два корня:

где - собственная частота колебаний ротора синхронной машины, – декремент затухания.

При с₁> 0 система всегда будет устойчива. При с₁/Т_j< α ² оба корня будут действительные отрицательные, процесс будет устойчивым, угол нагрузки изменяется по экспоненциальному закону. При с₁/Т_j> α ² оба корня будут комплексными с отрицательными вещественными частями, процесс будет устойчивым, характер процесса колебательный.

При с₁< 0 соотношение между с₁/Т_j и α не влияет на характер процесса. Один корень всегда будет положительным, а другой отрицательным. Процесс будет неустойчивый, угол нагрузки изменяется по экспоненциальному закону.. При с₁=0 появляется один нулевой корень и один корень, равный –Р_d/Т_j. Наличие нулевого корня указывает, что для выяснения действительного поведения системы нужно или провести дополнительные исследования с учётом уточняющих факторов, или считать, что практически система может получить некоторый единичный толчок, который приведёт к нарушению устойчивости.

Рассмотрим устойчивость без учёта электромагнитных переходных процессов в контурах ротора и без учёта демпферного момента (Р_в=0). Это частный случай, соответствующий исследованию простейшей системы как консервативной, приводит к характеристическому уравнению

Т_jр²+ с₁=0, которое имеет два корня:

и всякое возмущение в системе будет приводить к незатухающим колебаниям с собственной частотой, если с₁> 0 и оба корня мнимые.

Самораскачивание и самовозбуждение. Проведенное исследование статической устойчивости было недостаточно полным, так как в нем не рассматривались нарушения устойчивости, имеющие характер самораскачивания и самовозбуждения. Такие нарушения могут наступать при наличии в сети, связывающей исследуемую станцию (эквивалентный генератор) с системой (в частности с шинами бесконечной мощности), или заметного активного сопротивления (r/x> 0, 05), или значительной емкости (-Т_d).В первом случае возникают установившиеся или нарастающие колебания - самораскачивание, во втором происходит самопроизвольный рост тока и напряжения генераторов, потребляющих емкостную реактивную мощность, - самовозбуждение.