Теории прочности.

Оценка прочностной надежности является распространенной инженерной задачей, в которой напряженное состояние в «опасной» точке (точках) элемента конструкции сопоставляется с предельным состоянием, определяемым пределом текучести, пределом прочности и т. п. для материала этого элемента. Такая оценка оказывается достаточно точной, когда материал элемента конструкции находится в одноосном напряженном состоянии (растяжение, сжатие) или в простейшем двухосном, когда главные напряжения в каждой точке равны между собой по величине, но противоположны по знаку (сдвиг, кручение).

Однако многие элементы конструкций при нагружении работают в условиях сложного (плоского, объемного) напряженного состояния. При этом возникает вопрос о том, каким образом совокупность напряжений в точке элемента сопоставить с механическими характеристиками его материала, т. е. необходимо установить некоторое эквивалентное напряжение (рис. 4.23), которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно с заданным.

Поставленная задача является достаточно сложной. Наиболее точный ответ можно было бы получить, испытав до разрушения образец из материала детали при заданном соотношении главных напряжений. Но такие испытания требуют очень сложных машин и приборов.

В связи с этим учеными предложен ряд гипотез (теорий) прочности, которые позволяют без трудоемких экспериментов оценить опасность перехода в предельное состояние материала элементов конструкций, находящихся в сложном напряженном состоянии.

Рис. 4.24. Объемное и эквивалентное напряженные состояния

Рассмотрим теории прочности, которые наиболее широко применяются в инженерных расчетах.

Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности) основывается на предположении, что опасное состояние материала наступает, когда какое-либо из главных напряжений достигает опасного значения.

Согласно этой теории, связанной с именем Галилея, сложное напряженное состояние равноопасно с простым растяжением, если максимальное нормальное напряжение () равно нормальному напряжению при растяжении, т. е.

.

Напряжения и по этой теории не влияют на прочностную надежность элемента конструкции, которая определяется условием

,

где – предельное напряжение, полученное при растяжении стандартного образца.

Теория наибольших нормальных напряжений дает достаточно удовлетворительные результаты при расчете деталей из хрупких материалов. Начало разрушения пластических материалов, т. е. появление в них текучести вследствие больших касательных напряжений, этой теорией не объясняется.

Теория наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности) основывается на предположении, что материал независимо от вида напряженного состояния разрушается тогда, когда наибольшее относительное удлинение или укорочение в каком-либо направлении достигает такой величины, при которой происходит разрушение при простом растяжении (сжатии).

Условие прочностной надежности по этой теории

,

где – предельное значение относительного удлинения при растяжении стандартного образца.

Данная теория прочности была разработана Сен-Венаном в XIX в., но недостаточно хорошо подтверждается экспериментальными исследованиями. Лучшие результаты получаются для хрупких материалов (легированный чугун, высокопрочные стали после низкого отпуска и т. д.).

Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности) основывается на предположении, что основной причиной появления опасного состояния (текучести) материала являются наибольшие касательные напряжения.

По этой теории текучесть материала независимо от напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, при котором происходит появление опасного состояния (текучести) в случае простого растяжения.

Условие прочности по этой теории

,

где – предельное значение касательного напряжения при кручении.

Для растяжения стержня и учитывая, что при растяжении стержня и в предельном случае получим

.

Для плоского напряженного состояния условие прочности

.

В частном случае, когда ,

.

Рассмотренная теория была предложена Кулоном в конце XVIII в., она хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов.

Энергетическая теория прочности основывается на предположении, что сложное напряженное состояние равноопасно с простым растяжением, если они имеют одинаковые удельные энергии изменения формы.

В общем случае деформации часть энергии деформации расходуется на изменение объема, а другая часть энергии – на изменение формы тела, т. е. .

Последнее равносильно представлению заданного напряженного состояния (рис. 4.25) в виде суммы двух состояний.

Рис. 2.25. Расчетная схема к энергетической теории прочности

Первое из этих состояний соответствует гидростатическому растяжению (сжатию), при котором на всех гранях кубика действуют одинаковые средние напряжения

.

Под действием этих напряжений форма кубика не меняется, а изменяется лишь его объем за счет одинакового удлинения (укорочения) длин всех ребер.

Второе напряженное состояние с компонентами напряжений на гранях кубика ; ; изменяют лишь форму тела.

Условие прочности по этой теории

.

Для плоского напряженного состояния условие прочности принимает вид

.

В частном случае, когда , то, приняв и , найдем

.

Эта теория предложена в начале XX в. Губером и Мизесом. Она хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов и широко применяется на практике.

Описанная теория показывает одинаковую прочность при растяжении и сжатии, так как эквивалентные напряжения в обоих случаях одинаковы.

Получили распространение и другие теории прочности, в которых более полно учитывают особенности поведения материала при сложном напряженном состоянии, различие в механических характеристиках материалов при растяжении и сжатии и др.