Напряженное и деформированное состояние в точке.

Ранее рассматривалось, что при одноосном растяжении (сжатии) стержня на некоторых площадках одновременно действуют нормальные и касательные напряжения, значения которых зависят от угла наклона к оси стержня этих площадок. Имеются также площадки (сечения), в которых касательные напряжения отсутствуют. На этих площадках нормальные напряжения имеют экстремальные значения: максимальные в сечениях, перпендикулярных оси стержня , и минимальные (при растяжении равны нулю) в сечении, параллельном оси стержня .

Площадки, в которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, также называют главными.

В других более сложных случаях действия сил на стержень также возникает задача об определении главных площадок и максимальных напряжениях на них, Для этого требуется исследовать напряженное состояние в некоторых характерных точках деформированного тела, т. е. определить совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через указанные точки.

Центральное растяжение (сжатие) стержня является простейшим видом деформации тела, при котором лишь одно из главных напряжении не равно нулю. Такой вид напряженного состояния называют иногда линейным. На практике встречаются виды деформации, когда в окрестности какой-либо точки тела действуют два и даже три главных напряжения. Напряженное состояние в точке в этих случаях называют соответственно плоским и объемным.

Рассмотрим плоское напряженное состояния, которое реализуется в элементах конструкции сравнительно часто, например, в точках поверхностей деталей машин.

Рассмотрим тонкую пластинку (рис. 4.20) под действием внешних сил в системе координат Oxyz. Ее поверхности, перпендикулярные оси z, свободны от внешних сил. В окрестности произвольной точки К сечениями, перпендикулярными плоскостям этой пластинки, мысленно вырежем элементарный параллелепипед. Со стороны пластинки на этот параллелепипед будут действовать в общем случае нормальные и касательные усилия. Векторы нормальных и касательных напряжений, соответствующие этим условиям, будут также лежать в одной плоскости, образуя в окрестности точки K плоское напряженное состояние.

Рис. 4.20. Плоское напряженное состояние

Плоское напряженное состояние в каждой точке тела путем поворота осей может быть представлено как растяжение-сжатие в двух взаимно перпендикулярных направлениях напряжениями и (рис. 4.21, а), третье главное напряжение .

Рис. 4.21. Главные напряжения и главные площадки

Складывая почленно соотношения (6), получим

,

т. е. сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не зависит от угла .

Максимальное и минимальное касательные напряжения равны по величине и отличаются лишь знаком.

,

Максимальное значение касательных напряжений равно абсолютному значению полуразности главных напряжений.

В площадках, где действуют максимальные касательные напряжения, имеются и нормальные напряжения (рис. 4.21, а).

Определим деформации и в направлении главных напряжений при плоском напряженном состоянии. Для этого используем закон Гука для линейного напряженного состояния

,

зависимость между продольной и поперечной деформациями

и принцип независимости действия сил.

Напряжение вызывает продольную деформацию

и поперечную деформацию (в направлении напряжения )

.

Напряжение вызывает деформации

.

Суммируя деформации одного направления, получим

– закон Гука для плоского напряженного состояния.

Аналогично для объемного напряженного состояния (рис. 4.22)

– закон Гука для объемного напряженного состояния.

здесь и – третье главное напряжение и главная деформация.

Рис. 4.22. Объемное напряженное состояние