Напряженно-деформированное состояние тела. Метод сечений.

Все материалы, элементы конструкций и конструкции под действием внешних сил в той или иной мере испытывают смещения (перемещения относительно нагруженного состояния) и изменяют свою форму (деформируются). Взаимодействие между частями (частицами) внутри элемента конструкции характеризуется внутренними силами.

Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия (связей), возникающие при воздействии на тело внешних нагрузок.

Практика показывает, что внутренние силы определяют (могут характеризовать) прочностную надежность детали (тела), поэтому их определение составляет важную задачу сопротивления материалов.

Для нахождения внутренних сил используют метод сечений, который состоит в следующем. Рассмотрим тело произвольной формы (рис. 4.4, а), находящееся в равновесии под действием внешних, сил , , …, . Мысленно рассечем это тело на две части плоскостью П и рассмотрим одну из частей, например левую (рис. 4.4, б). Так как связи между частями устранены, то действие одной из них на другую следует заменить системой внутренних сил в сечении. В соответствии с основным законом механики действие равно противодействию и противоположно по направлению. Следовательно, внутренние силы в сечениях частей тела всегда взаимны.

Внутренние силы распределены по сечению некоторым сложным образом. Однако если привести систему внутренних сил к какой-либо точке, например к центру О тяжести сечения, то для рассматриваемой части тела можно определить главный вектор и главный момент внутренних сил, действующих по сечению. Так как система внешних сил удовлетворяет условиям равновесия, а система внутренних сил взаимна, то мысленно отсеченная часть также должна находиться в равновесии:

;

Рис. 4.4. Схемы внешних и внутренних сил в теле

Поместим в точке О систему координат xyz, направив ось х по нормали к сечению и расположив оси у и z в его плоскости, и разложим главный вектор и главный момент на составляющие по этим осям (рис. 4.4, б);

; .

Эти составляющие называют внутренними силовыми факторами в сечении. Составляющая называемая нормальной или продольной силой, вызывает деформацию растяжения или сжатия. Составляющие и перпендикулярны нормали и стремятся сдвинуть одну часть тела относительно другой, их называют поперечными силами.

Составляющая главного момента скручивает тело и называется крутящим моментом. Моменты и изгибают тело соответственно в плоскостях и называются изгибающими моментами.

Чтобы вычислить указанные силовые факторы, необходимо решить шесть уравнений равновесия для одной из отсеченных частей:

; ; ; ; ; .

Напряжения и деформации в точке

Значения внутренних сил в сечении не позволяют сопоставить условий работы даже деталей одинаковой формы, но неодинаковых размеров. Например, по каким параметрам можно сравнить прочностную надежность двух соединений болтами различных диаметров, воспринимающих одинаковые растягивающие силы F?

Эффективными характеристиками для оценки нагруженности деталей будут интенсивность внутренних сил взаимодействия – напряжение и деформация.

Рассмотрим сечение П тела (рис. 4.5, а). На основании принятого ранее допущения о сплошности тела можно считать, что внутренние силы непрерывно распределены по всему сечению. В окрестности произвольной точки К выделим элементарную площадку , а равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим , Отношение представляет собой среднее напряжение на данной площадке. Если площадку уменьшать (стягивать в точку), то в пределе получим напряжение в точке

.

Рис. 4.5. Схемы действия внутренних сил и напряжений в сечении тела

Силу можно разложить на составляющие: нормальную и касательную (перерезывающую) . По этим составляющим можно определить нормальное и касательное напряжения:

; .

Из этих равенств видно, что напряжения имеют размерность силы, деленной на площадь. В системе СИ напряжения выражаются в Паскалях (Па):

1 Па = 1 Н/м².

Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через точку, определяет напряженное состояние в точке. Для полной характеристики напряженного состояния в данной точке надо знать не только величину и направление напряжения, но и ориентацию сечения, по которому они действуют.

Касательные напряжения имеют различные направления в плоскости сечения, поэтому вместо одного удобнее определять два касательных напряжения и направленных соответственно вдоль осей у и z (рис. 4.5, б).

Связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами, возникающими в сечении, можно установить, используя уравнения статики.

Выделим в сечении тела бесконечно малую площадку и приложим к ней элементарные силы (рис. 4.5, б).

Суммируя по всему сечению тела проекции этих сил, а также их моменты относительно осей х, у и z, будем иметь

где А — площадь поперечного сечения тела.

Если напряжения распределены по сечению равномерно, тогда нормальное растягивающее напряжение для болта:

,

где d — диаметр стержня болта.

Из этой формулы следует важный вывод о том, что с увеличением диаметра болта напряжения в нем существенно уменьшаются.

Возникновение смещений (перемещений) в любой конструкции под действием сил является обычным результатом ее нагружения. Если эти смещения не нарушают работоспособности, то деформативность (жесткость) конструкции является ее важным свойством, без которого она не могла бы работать.

Для определения деформаций в точке К рассмотрим малый отрезок KL длиной s, исходящий из этой точки в произвольном направлении (рис. 4.6). В результате деформации точки К и L переместятся в положение и соответственно, а длина отрезка, например, возрастет на величину . Отношение представляет собой среднее удлинение на отрезке s.

Рис. 4.6. Схемы линейных и угловых деформаций в точке

Уменьшая отрезок s, приближая точку L к точке К, в пределе получим линейную деформацию в точке К по направлению KL:

.

Если в точке К провести три оси, параллельные осям координат, то линейные деформации в направлении координатных осей х, у и z будут равны соответственно .

Деформация тела является безразмерной и часто выражается в процентах.

Кроме линейной деформации вводят понятие угловой деформации.

В координатных плоскостях угловые деформации или углы сдвига обозначаются через .

В любой точке тела имеют место три линейных и три угловых компонента деформации, которые определяют деформированное состояние о точке.

На основании принципа независимости действия сил напряжения и деформации не зависят от порядка приложения сил. Поэтому сложное напряженное состояние тела (встречающееся ниболее часто) можно рассматривать как сумму напряженных состояний основных типовых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, изгиба и кручения (см. составные части внутренних силовых фактров).