Теоретическое введение

Форма и объем любого твердого тела изменяется под действием внешней силы. Изменение формы и объема твердого тела под действием внешней силы называется деформацией.

Деформацию называют упругой, если после прекращения действия внешней силы тело полностью восстанавливает свою начальную форму и размеры.

Если после прекращения действия внешней силы тело не восстанавливает свою начальную форму и размеры, деформация называется пластической.

В зависимости от направления действия сил различают такие виды упругих деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб.

Сила может деформировать тело – смещать составляющие его частицы относительно друг друга. При этом (в соответствии с третьим законом Ньютона) внутри деформированного тела возникает противодействующая сила, равная по величине деформирующей силе и называемой силой упругости. Каждый вид деформации вызывает появление соответствующей силы упругости.

Закон Гука:

сила упругости F, возникающая при малых деформациях любоговида, пропорциональна величине деформации D х.

F= - k D x,

где k – коэффициент пропорциональности.

При малых смещенияхD х деформацию реальных тел можно считать упругой. При больших смещениях D х возникает остаточнаядеформация – тело не восстанавливает полностью свои форму и размер.

Величину относительной деформации ε оценивают отношениемизменения размераD х к его первоначальному размеру х₀

(1)

Привсестороннем растяжении или сжатии х означает объём V, аD х – увеличение или уменьшение объёмаD V, вызванное деформацией. При продольном растяжении или сжатии х означает длину L.

Отношение силы Р, вызвавшей деформацию, к площади поперечного сечения образца S, называется напряжением.

(2)

По закону Гука напряжение деформированного тела пропорционально относительной деформации

σ = E ε, (3)

где Е – модуль упругости (модуль Юнга).

Его величина зависит от материала, из которого изготовлено деформируемое тело.

Модуль Юнга определяют, используя выражения (2), (3):

,

Численно модуль Юнга равен величине нормальной нагрузки, которую надо приложить к единице площади поперечного сечения образца, чтобы удлинить его в 2 раза, если бы для такой деформации оставался справедливым закон Гука.

В СИ модульупругости измеряется в[ Е ]=Н/м².

Зависимость напряжения s от относительного удлинения e является одной из важнейших характеристик механических свойств твердых тел. Графическое изображение этой зависимости называется диаграммой растяжения (рис. 1).

Закон Гука, выраженный формулой(3), справедлив только до известного предела. При некотором напряжении нарушается прямая пропорциональность между напряжением и деформацией. Это напряжение называется пределом пропорциональности s_п (точка А).

рис. 1 Деформация остается упругой до некоторого предельного напряжения s_уп – предел упругости (точка B) – после снятия нагрузки размеры тела восстанавливаются полностью. Пластические деформации наблюдаются в области CD – деформация происходит почти без увеличения напряжения. Напряжение достигает максимума в точке Е, что соответствует пределу прочности s_пч. При дальнейшем увеличении нагрузки наступает разрыв образца (точка К).

В данной работе модуль упругости определяется методом изгиба стержня. Оба конца стержня кладут на твёрдые опоры и посредине нагружают грузом определённого веса. Действие этой силы вызывают деформацию изгиба.

В этом случае величина деформации характеризуется так называемой стрелой прогиба (λ) – расстоянием, на которое опускается точка приложения силы, действующей на стержень. Стрела прогиба, в случае нагрузки, расположенной на середине стержня, определяется по формуле:

(4)

где Р – сила, вызывающая деформацию,

ℓ – длина стержня,

a – ширина поперечного сечения стержня,

b – высота (толщина) стержня

Из формулы (4) получаем выражение для определения модуля упругости:

(5')

или (5'')