Задача 4. Застосування принципу Даламбера для визначення реакцій в’язей

Теоретична довідка. Для невільної матеріальної точки принцип Даламбера формулюють так: під час руху матеріальної точки в кожний момент часу сума активних сил, що прикладені до точки, реакцій в’язей і сил інерції дорівнює нулю. Використання принципу Даламбера дозволяє замінити розв’язування задач динаміки розв’язуванням задач статики. Такий метод розв’язування задач називають ще методом кінетостатики. Для застосування принципу Даламбера необхідно вміти визначити силу інерції.

Силою інерції матеріальної точки називають векторну величину, яка дорівнює добутку маси m точки на вектор її прискорення і направлена в протилежний бік до напрямку прискорення:

. (1.35)

Якщо рух матеріальної точки задано координатним способом, то силу інерції можна визначити так:

,

де , , - проекції сили інерції на осі декартової системи координат;

Якщо рух матеріальної точки задано натуральним способом, то силу інерції можна розділити на такі складові

, (1.36)

де , - відповідно дотична (тангенціальна) та нормальна сили інерції. Значення цих сил визначають за формулами:

; .

Якщо матеріальна точка є однією з точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю та кутовим прискоренням , то доцентрове прискорення буде збігатися з нормальним, а обертальне – з тангенціальним. Відповідні до цих прискорень обертальну та відцентрову сили інерції визначають з виразів

, ,

де - відстань від точки до осі обертання.

Сила інерції за своїм фізичним змістом є векторною сумою реальних сил протидії матеріальної точки всім тілам, що діють на неї та надають їй прискорення.

Для механічної системи принцип Даламбера формулюють так: в кожний момент часу векторна сума головних векторів активних сил, реакцій в’язей і сил інерції рухомої системи матеріальних точок дорівнює нулю, а також дорівнює нулю векторна сума головних моментів активних сил, реакцій в’язей і сил інерції, тобто:

, (1.37)

де , , - головні вектори активних сил, реакцій в’язей та сил інерції, - головні моменти активних сил, реакцій в’язей та сил інерції відносно довільного центра .

Векторним рівнянням (1.37) відповідають шість рівнянь у координатній формі:

які називають рівняннями кінетостатики.

При поступальному русі твердого тіла сили інерції всіх точок тіла зводять до рівнодійної, яка прикладена в центрі мас тіла. Величина рівнодійної дорівнює добутку маси тіла на прискорення довільної точки (чи центра мас) тіла. Рівнодійна сил інерції спрямована в протилежний бік до напрямку прискорення довільної точки тіла, тобто

.

При обертальному русі твердого тіла, що має площину симетрії, навколо осі, яка перпендикулярна до цієї площини, сили інерції всіх точок тіла зводять до головного вектора сил інерції і головного моменту сил інерції. Головний вектор сил інерції дорівнює добутку маси тіла на прискорення центру мас тіла і спрямований у протилежний бік до напрямку прискорення. Головний момент сил інерції дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно осі, яка перпендикулярна до площини симетрії та проходить через точку зведення, на кутове прискорення тіла і спрямований у протилежний бік до напрямку кутового прискорення тіла.

а б

Рис. 1.17

На рис. 1.17, а показані головний вектор сил інерції і головний момент сил інерції , коли за точку зведення взято центр мас тіла С, тоді

; . (1.38)

Зауважимо, якщо вісь обертання проходить через центр мас тіла, то і , тобто в цьому випадку сили інерції тіла зводять до моменту .

На рис. 1.17, б показані головний вектор сил інерції і головний момент сил інерції з центром зведення в точці О, що розміщена на осі обертання, тоді

; ; . (1.39)

При плоскопаралельному русі тіла, що має площину симетрії та рухається паралельно до неї, сили інерції всіх точок тіла зводять до головного вектора сил інерції , прикладеного в центрі мас, та головного моменту сил інерції відносно осі, яка перпендикулярна до площини симетрії тіла і проходить через центр мас тіла (рис. 1.18), які дорівнюють

де - прискорення центра мас тіла; - кутове прискорення тіла; - момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас.

Головний вектор сил інерції напрямлений в протилежний бік до напрямку прискорення центра мас тіла , а головний момент сил інерції напрямлений в протилежний бік до напрямку кутового прискорення .

Приклад 4.1. До вертикального вала (рис. 1.19), який рівноприскорено обертається навколо осі , прикріплені: суцільний однорідний круглий диск радіусом і масою ; товстий однорідний прямолінійний стержень довжиною і масою ; тонкий стержень (масою якого можна знехтувати) довжиною , на кінці якого прикріплений вантаж масою . До вала прикладений обертовий момент . Початкова кутова швидкість обертання вала . Відстані між усіма сусідніми точками місць кріплення на валу одинакові й дорівнюють .

Визначити реакції в'язей механічної системи в підшипнику і підп’ятнику у момент часу , вважаючи, що в цей момент часу стержні розміщені в площині і центр ваги диску зміщений від осі вала на відстань по осі .

План розв’язування задачі

1. Визначити головний вектор і головний момент сил інерції та їх складових для диска, стержня і вантажу у разі зведення сил інерції до осі обертання .

2. Скласти рівняння кінетостатики механічної системи.

3. Розв’язати систему рівнянь кінетостатики та знайти кутові прискорення і швидкість вала , а також реакції в’язей у підшипнику і підп’ятнику .