Розв’язування. 1. Записуємо співвідношення, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії для системи твердих тіл з урахуванням перебування її в початковий момент часу в

1. Записуємо співвідношення, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії для системи твердих тіл з урахуванням перебування її в початковий момент часу в стані спокою (Т₀ =0). Тоді з рівності (1.34) будемо мати

,

де Т – кінетична енергія системи в кінцевому її положенні; - робота зовнішніх сил, прикладених до k –го тіла, на викликаному цими силами переміщенні тіла.

2. Визначаємо кінетичну енергію системи в кінцевому положенні, яка дорівнює сумі кінетичних енергій окремих тіл системи

,

де Т ₁ – кінетична енергія тіла 1, Т ₂ – кінетична енергія тіла кочення 2 і Т ₃ – кінетична енергія тіла 3 (шарнірно опертого блоку)

Враховуючи маси тіл і кут нахилу площини руху тіла 2, можна твердити, що тіло 1 переміщується вертикально вниз.

Тіло 1 здійснює поступальний рух зі швидкістю , тому його кінетична енергія дорівнює

.

Тіло 3 здійснює обертальний рух з кутовою швидкістю , тому його кінетична енергія дорівнює

,

де - момент інерції тіла 3 відносно осі обертання, який за відомим радіусом інерції тіла визначаємо за формулою . З рис. 1.14 видно, що лінійна швидкість в точці тіла дорівнює , а , і кутова швидкість тіла 3 . Тоді будемо мати

.

Рис. 1.14

Тіло 2 здійснює плоскопаралельний рух, тому його кінетична енергія дорівнює

,

де - момент інерції тіла 2 відносно осі, яка перпендикулярна до площини руху тіла і проходить через центр мас С ₂ тіла (R ₂ - радіус тіла); - відповідно швидкість центра мас і кутова швидкість тіла 2. Для визначення цих величин використаємо те, що точка є миттєвим центром швидкостей, а також залежності між лінійними швидкостями точок і кутовими швидкостями тіл 2 і 3 (рис. 1.14):

, , , , ,

, .

Тоді будемо мати:

.

Сумарна кінетична енергія системи з врахуванням числових даних дорівнює:

3. Визначаємо роботу всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, на відповідних переміщеннях. На систему (рис. 1.14) діють зовнішні сили: сила тяжіння першого тіла , сила тяжіння другого тіла , нормальна реакція похилої площини , сила тертя , момент опору коченню , сила тяжіння третього тіла , реакція підшипника зі своїми складовими . Сили роботи не виконують, оскільки прикладені до миттєвого центра швидкостей. Сили роботи не виконують, оскільки прикладені до точки С ₃, де відсутні лінійні переміщення.

Обчислюємо роботу решту сил при переміщені тіла 1 системи на величину s ₁. Для цього спочатку визначимо переміщення окремих точок тіл 2, 3 та кут повороту тіла 2 (рис. 1.14), які зв’язані між собою такими рівностями:

, , , , .

Тоді врази роботи зовнішніх сил для окремих тіл запишемо так:

; ; .

Сумарна робота зовнішніх сил після підстановки числових даних залежно від переміщення s ₁ дорівнює

Якщо підставити значення кінетичної енергії і роботи зовнішніх сил у рівність (1.30), яка виражає теорему про зміну кінетичної енергії, і врахувати, що , то одержимо

.

4. Визначаємо швидкість і прискорення а ₁ тіла 1 при його переміщенні .

З останньої рівності маємо

.

Диференціюючи цю ж останню рівність за часом, одержимо:

,

звідси

.

Приклад 3.2. Система твердих тіл (рис. 1.15) складається з: вантажу 1 масою m ₁=12 кг, що переміщується вниз по похилій шорсткій площині під кутом до горизонту (коефіцієнт тертя між вантажем і площиною f= 0, 1); циліндричного суцільного блоку 2 масою m ₂=3 кг та радіусом R ₂=0, 3 м, що обертається навколо нерухомої опори С ₂; циліндричного двоступінчастого рухомого блоку 3 масою m ₃=5 кг, більший радіус якого дорівнює R ₃=0, 45 м, а менший та радіусом інерції блока .

Тіла з’єднані між собою за допомогою нерозтяжних невагомих ниток. У початковий момент часу механічна система нерухома.

Нехтуючи роботою моменту опору коченню, визначити швидкість і прискорення а ₁ вантажу 1 під час подолання ним відстані s ₁=0, 6м.

Рис. 1.15

План розв’язування задачі

1. Записати формулу, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи.

2. Визначити кінетичну енергію окремих тіл та системи загалом у початковому та кінцевому її положеннях.

3. Визначити роботу зовнішніх сил, прикладених до окремих тіл системи, на викликаних цими силами переміщеннях тіл та записати сумарну роботу зовнішніх сил.

4. Користуючись формулою, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи, записати рівняння для визначення потрібної величини.