Розв’язування. 1. Складаємо рівняння руху тіла на ділянці

1. Складаємо рівняння руху тіла на ділянці . На цій ділянці тіло рухається по дузі кола, тому рівняння руху запишемо в натуральних координатах (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Тоді згідно з формулами (1.4) для цього випадку будемо мати

; ,

де - проекції рівнодійної на осі відповідно.

2. Визначаємо проекції рівнодійної і модуль рівнодійної у положенні на ділянці . З рівняння руху тіла на ділянці будемо мати

; .

Тоді вирази для проекцій і мають вигляд

; .

Визначимо ці проекції в момент часу , коли тіло досягне положення . Для цього спочатку знайдемо час . З одного боку за цей час тіло переміститься з положення в положення і пройде шлях

,

а з другого боку дугову координату у положенні можна обчислити за формулою

.

З порівняння виразів для одержимо рівняння для визначення моменту часу :

Оскільки згідно з умовою задачі , то . У цей момент часу швидкість тіла в положенні дорівнює

.

Проекції та модуль рівнодійної системи сил, що діють на тіло, в момент часу визначаємо за формулами

; ;

.

Напрямні косинуси вектора рівнодійної :

; .

3. Визначаємо швидкість тіла в положенні на ділянці . Кутова координата, що визначає це положення, дорівнює: . Швидкість тіла в положенні визначаємо аналогічно до того, як визначали швидкість тіла у положенні . У результаті отримаємо

; .

Якщо прирівняти ці вирази для шляху , то одержимо

.

Додатній корінь цього рівняння визначає час, протягом якого тіло досягне положення . Тоді швидкість тіла в положенні дорівнює:

.

4. Складаємо рівняння руху тіла на ділянці . На цій ділянці тіло рухається прямолінійно в напрямку осі під дією сил: тяжіння ; тертя ; опору та реакції поверхні (рис.1.3).

Диференціальні рівняння руху тіла запишемо у координатній формі (1.3), які у випадку дії плоскої системи сил, мають вигляд:

Рис. 1.3

Оскільки при прямолінійному русі тіла на ділянці його переміщення в напрямку осі дорівнюють нулеві (), то . Тоді з другого рівняння системи маємо

і сила тертя, що діє на тіло, дорівнює

.

Після підстановки виразів для сил у перше диференціальне рівняння руху дістаємо

.

Одержаний вираз описує прямолінійний рух тіла на ділянці .

5. Розв’язуємо диференціальне рівняння руху тіла на ділянці і визначаємо швидкість тіла в положенні . Приймемо до уваги, що . Тоді останнє рівняння руху запишемо у такому вигляді

,

або з врахуванням числових даних задачі:

; ,

будемо мати

.

Розв’язуємо це рівняння методом розділення змінних. Для цього запишемо його в такому вигляді

.

Проінтегруємо праву та ліву частину цього рівняння та одержимо:

,

де сталу інтегрування визначимо з початкової умови, що при , . Тоді

і рівняння для визначення швидкості тіла має вигляд

.

Звідси швидкість тіла на ділянці дорівнює

.

Для визначення швидкості тіла в положенні в одержану формулу підставимо час його руху на ділянці . Отримаємо:

.

6. Складаємо диференціальні рівняння руху тіла на ділянці і визначаємо дальність польоту тіла. Рух тіла на цій ділянці відбувається в площині під дією сили тяжіння з початковою швидкістю (рис. 1.4).

Диференціальні рівняння руху тіла запишемо в координатній формі (1.3), які стосовно нашого випадку мають вигляд

; .

Оскільки , то ці рівняння можна подати так:

; .

Знайдемо залежності, що описують положення тіла при його русі на ділянці . Для цього проінтегруємо останні рівняння. У результаті одержимо:

; ;

Рис. 1.4 ; ;

де - сталі інтегрування, які визначимо з початкових умов, зокрема при : , ; , .

З цих початкових умов визначаємо значення сталих інтегрування:

; ; ; .

Отже, рівняння руху тіла на ділянці мають вигляд

; .

Якщо з цих рівнянь виключити час , наприклад, з першого рівняння знайти і підставити у друге рівняння, то одержимо рівняння траєкторії руху тіла:

.

З цього рівняння видно, що траєкторією руху тіла є парабола.

Визначимо дальність польоту тіла, коли тіло досягне положення . Для цього підставимо в рівняння траєкторії , а також інші числові дані. Тоді будемо мати:

,

або

.

Додатній корінь цього рівняння визначає дальність польоту тіла .