Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Семейство преобразований Фурье






Преобразование Фурье играет одну из важнейших ролей в цифровой обработки сигнала и является математической основой гармонического анализа. Суть преобразования Фурье разложение произвольного процесса на элементарные гармонические колебания с различными частотами с помощью одной базисной функции exp(jwt) или двух действительных функций sin(wt) и cos(wt). Этому преобразованию посвящено десятки тысяч публикаций. В данном методическом пособии рассматриваются основные понятия преобразования и методы его исследования в пакете MATLAB..

Семейство преобразований Фурье, показано на рис.19 [46, 52]. Семейство включает: ряды Фурье, преобразование Фурье, дискретные ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье.

 

а) б)

Рис. 18. Прохождение видео- и радиоимпульсов через линию связи

а – полоса пропускания шире спектра сигнала; б – полоса пропускания уже спектра сигнала

Функцию, соответствующую реальному сигналу c периодом Tin, можно представить суммой отдельных гармонических составляющих. Составляющие представляют собой косинусоиды и синусоиды с амплитудами Ak, Bk и периодами Тk, частотами fk (круговыми частотами ω k=2pfk= 2pfink, fin=1/Tin – фундаментальная частота). Преобразование Фурье позволяет сопоставить сигналу, заданному во временной области, его эквивалентное представление в частотной области. Наоборот, если известна частотная характеристика сигнала, то обратное преобразование Фурье позволяет определить соответствующий сигнал во временной области.

При разложении периодической функции x (t)можно получить ряд Фурье, состоящий из отдельных гармонических составляющих Xk(w). Зависимость модуля гармонических составляющих от частоты называют амплитудным спектром. Если функция непериодическая и нестационарная (финитная, значения функции x(t) стремятся к нулю при t→ ±∞), то, используя интегральное преобразование Фурье, получают непрерывный спектр, который принято называть плотностью спектра или спектральной плотностью. Если непрерывная функция дискретизируется и представляется в виде периодической (n) последовательности (отсчетами в дискретные моменты времени), то получают дискретный ряд Фурье. Если дискретная последовательность x (n) конечна (не периодическая), то преобразование Фурье позволяет получить её спектр X(w), который непрерывен и периодичен. Применение к этой же последовательности x (n) дискретного преобразования Фурье дает дискретные отсчеты X(k) ее периодического спектра X(w). В обоих случаях дискретизация во временной области порождает периодизацию в частотной области.

Ряд Фурье для непрерывного (аналогового) вещественного сигнала x (t) с периодом Тin может быть представлен на периоде разложения T= Тin в вещественной или комплексной формах

x(t) = x0+ = , w1=2p/T

= , = {cos(φ k) – sin(φ k)}

= Ak – j Bk – комплексные коэффициенты ряда Фурье для двухстороннего интервала представления частот kÎ (-∞, ∞)

x0 = = – постоянная составляющая сигнала,

xk(t)= 2 · · cos(k· w1· t – φ k) = ak· cos(k· w1· t)+bk· sin(k· w1· t), φ k = arct(bk/ak) – вещественные гармонические составляющие сигнала при представлении на одностороннем интервале частот kÎ (1, ∞)

ak· = = 2 · · cos(φ k) =2 Ak,

bk· = = 2 · · sin(φ k) = 2 Bk

Преобразование Фурье (Fourier transform) определяет переход из временной в частотную область для непрерывных апериодических (финитных) сигналов s(t). Прямое преобразование Фурье для получения спектральной плотности сигнала в области круговых частот w или частотной области f:

,

Обратное преобразование Фурье

Между спектром одиночного импульса и коэффициентами ряда Фурье для последовательности таких импульсов с периодом T=Tin действительно соотношение [55]: ,

 


Рис. 19. Семейство преобразований Фурье

а – ряд Фурье: сигнал непрерывный и периодический x(t), ряд C(k) дискретный и непериодический (д);

б – интегральное преобразование Фурье: сигнал непрерывный и апериодический s(t), спектральная плотность S(f) непрерывная, непериодическая (е);

в – дискретный ряд Фурье: сигнал (n) дискретный и периодический (последовательность), ряд X(k) периодический (ж);

г – дискретное преобразование Фурье, сигнал x(n) дискретный и апериодический, спектр X(f) непрерывен и периодичен (з).


Дискретное преобразование Фурье. Уравнения для этого вида преобразования идентичны дискретному ряду Фурье при условии, что дискретные значения во временной области конечной последовательности x(n) рас­сматриваются как один период периодической (n) последовательности. Это преобразование получило наибольшее распространение при реализации технических систем. Значения гармоник в частотной области дискретны.

Уравнение для получения N-точечного дискретного преобразования Фурье в комплексной форме (входные, и выходные величины являются комплексными числами):

(k)= k= (2.2)

где (k)= k – частотная составляющая в k-ой точке спектра, k=0, 1, …, N-1,

(n)= n – дискретное значение сигнала в точке n во временной области, n=0, 1…, N-1,

N – число отсчетов сигнала (размер FFT-преобразования).

Вычисления значений во временной области (n) по отсчетам в частотной области (k) (обратное дискретное преобразование Фурье):

(n)= (2.3)

При дискретном преобразовании Фурье число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Данные могут задаваться как номерами отсчетов n, так и временными отсчетами, определяемые через шаг по времени Dt: tn=n· Dt. Соответственно, результат преобразования также может задаваться для номеров отсчетов k или для дискретных значений частот fk=k· Df, (Df – частотное разрешение, шаг дискретизации по частоте). Интервал выборки также может задаваться либо числом отсчетов сигнала N, либо периодом разложения T. Главный интервал представления результатов представляется либо числом частотных составляющих N, либо максимальной частотой, равной частоте дискретизации fs=1/ Dt. Основные величины приведены в перечне сокращений и терминов.

Минимальная частота дискретизации fs по временной оси определяется частотой Найквиста fN = fs/2 и должна превышать максимальную частотную составляющую сигнала: fs³ 2fm. Соотношения для N точек интервала разложения Т при частоте дискретизации fs [47]:

шаг дискретизации (разрешение) по частоте, Гц:

Df = 1/T = 1/(NDt)=fs/N, (2.4)

шаг дискретизации (разрешение) по времени, с:

Dt = 1/fs=1/(2fN ) = 1/(NDf), (2.5)

произведение шагов дискретизации по частоте и времени:

DtDf = 1/N. (2.6)

Результат преобразования Фурье часто представляется в нормализированном виде. Нормализованные частоты определяются по отношению к частоте дискретизации, fs:

w* = wk / fs, f* = fk / fs, (2.7)

Непрерывная периодическая функция частоты также может быть разложена в ряд Фурье, но уже во временной области

= (2.8)

где w=2· p· f – круговая частота, f – частота, Dt – шаг дискретизации.

Коэффициенты x(n) ряда (2.8) определяются по значениям спектра на периоде ws =2p/Dt

x(n)=

Выражение (2.8) можно рассматривать как непрерывный периодический спектр дискретной временной функции x(n), т.е. как дискретное преобразование Фурье, см. рис.19 г).

Для дискретизированного сигнала (n)(см. рис.19), получаемого из непрерывного сигнала x(t): (n) =x(t)|t=Dtn= (Dt∙ k), спектр X(k) может быть представлен [55] в виде бесконечного ряда сдвинутых копий спектра C (k) исходного непрерывного периодического сигнала x(t) с расстоянием между копиями, равными частоте дискретизации fs=1/Dt и размерностью сигнала. Аналогично можно записать соотношение между плотностями спектров X(f)=SД(f) и S(f) для дискретизированного сигнала x(n), получаемого из непрерывного непериодического финитного сигнала s(t)

SД(f)=X(f) = (2.9)

Соотношение между спектрами показано также на рис. 20.

Рис.20. Спектры непрерывного (а) и дискретизированного (б) сигналов,

fs – частота дискретизации, fm – максимальная частотная составляющая сигнала

 

На рис. 21 приведен результат дискретного преобразования Фурье сигнала c тремя гармоническими составляющими, выполненный в MatLAB:

x(n)=sin(2· p· 19· Dt· n)+2· sin(2· p· 20· Dt· n)+3 sin(2· p· 250· Dt· n). Результат представлен в виде комплексных составляющих гармоник на главном интервале (-Fmax/2, Fmax/2), поэтому значения гармоник на рис.21 составляют 1/2 от заданных вещественных сигналов. Приводимые здесь и далее примеры, выполненные в MatLAB v.7.01 и v.7.6, имеются в компьютерной сети кафедры, в папке «Учебный_процесс/АСЭ/методы/пособие_2010/ MatLAB» и имеют названия файлов согласно номерам рисунков.

 

Рис. 21. Дискретное преобразование Фурье для полигармонического сигнала, a – сигнал и его дискретные отсчеты, б – спектр сигнала на главном интервале,
в – отдельные гармоники сигнала

 

При получении ряда Фурье разложение выполняется для выбранного интервала времени Т, и полученные частотные составляющие не всегда представляют гармоники исследуемого сигнала. В общем случае происходит определение частотных составляющих именно для выбранного интервала времени. Если удается для анализа выделить интервал времени, кратный периоду повторения исследуемого сигнала Тin, то частотные составляющие будут являться его гармониками.

При дискретном представлении сигналов аргумент tn обычно проставляется номерами отсчетов n (по умолчанию Dt = 1, n = 0, 1, …N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу k (номер шага по частоте). Частотный спектр при дискретизации временной функции периодичен. Для комплексной формы Фурье получают двусторонний спектр. Принято частотный спектр отображать в главном частотном диапазоне рис. 22 в): при использовании по оси абсцисс частот f в интервале (-Fmax/2, Fmax/2), при использовании номеров отсчетов k: (-N/2, N/2). Иногда используются интервал (0, Fmax), как это приведено на рис. 22 б) либо – (0, N)

 

Рис.22. Прямоугольная последовательность импульсов и ее
двусторонний спектр

а – сигнал x(n): Ти=0.1 c, Т=1 с, Dt=0.01 с, N=100, fs=1/ Dt =100 Гц, fN=fs/2=50;
б – огибающая модуля спектра в диапазоне (0, Fmax), Fmax=2∙ fN= fs =100 Гц;
в – огибающая модуль спектра в диапазоне – (-Fmax/2, Fmax/2), Df=1/Т=1 Гц;
г – спектр главного «лепестка», Df=fs/N=1 Гц, DfL=0=1/Tи=10 Гц.

 

На рис.22 обозначено: Ти – длительность импульса, DfL=0 – ширина «лепестка», измеренная на уровне нулевого значения гармоники. Обычно ширина спектра (mainlobe width) измеряется на уровне Df-3 , равного 0, 5 (-3 дБ) от амплитуды наибольшего значения спектра (главного «лепестка»).

Наряду с определением гармонических составляющих (амплитуд и фазовых углов), широко используется определение мощности гармоник, особенно для случайных процессов. Чаще всего вычисляется спектральная плотность мощности, которая обычно отображается на половине интервала kÎ (0, N/2) или fÎ (0, Fmax/2). По оси ординат откладывают полное значение средней мощности в децибелах, вычисленных относительно мощности 1 Вт. Мощность обычно вычисляется для сопротивления 1 Ом.

Pk=10· lg(Pk)=20 lg(Xk), Pk=(Xk)2 (2.10)

 

Эффект Гиббса и растекание спектра. Для сигналов, имеющих разрывы прямого рода (скачки), при суммировании результатов разложения получаем пульсации, а вблизи скачков – выбросы. В свое время это послужило основанием для Лапласа, чтобы дать отрицательный отзыв о работе Фурье. Величина самого большого выброса составляет порядка 10% от величины скачка и не изменяется с увеличение числа складываемых гармоник. На рис. 23 [55] показан результат для периодических прямоугольных импульсов с коэффициентом заполнения кз=0, 5.

а) б)

Рис.23. Эффект Гиббса и появление скачков в «гладком» сигнале

а – сумма для 3-х гармоник меандра кзи/Tin=0.5, б – для 15- ти гармоник

в – дискретное преобразование Фурье для нецелого числа периодов в выборке

 

Перед выполнением дискретного преобразования Фурье (ДПФ), в общем случае, фундаментальная частота исследуемой функции неизвестна. Поскольку для анализа выбирается временной отрезок T, содержащий только часть исследуемого сигнала, то при выполнении ДПФ предполагается, что на остальной части временной оси сигнал периодически повторяет значения выбранного участка, как это показано на рис.23 [46].

Разрывы, которые могут образоваться в конечных точках выборки, приводят к появлению дополнительных гармоник. Данное явление называют также растеканием спектра (spectrum leakage), поскольку спектр сигнала расширяется. Причиной растекания спектра является допущение о периодическом продолжении функции за пределами выборки для дискретного преобразования Фурье. Если вычислить непрерывный спектр исходного дискретного сигнала, рассматриваемого в виде апериодической функции, имеющей за пределами выборки нулевые значения, то спектр будет определяться окном выборки и представляет собой непрерывную функцию интегрального синуса sinc(f-f0), центрированную на частоте гармонического сигнала f0.

На рис.24 приведены результаты моделирования эффекта «растекания» спектра в MATLAB на примере сигнала, содержащего одну гармонику.

Рис. 24. Моделирование «растекания» спектра в MATLAB

б) сигнал: период сигнала Tin=20 мс, шаг дискретизации Dt=1e-3, fs=1/Dt=1000 Гц;
спектры сигнала: а) Т=200 мс, N=T/Dt=200, Df =fs/N =5, 00 Гц, DfL=0=1/Т=5, 00 Гц;

в) Т=212 мс, N=212, Df=4, 72 Гц, fo=50 Гц, DfL=0=4, 76 Гц

 

Показаны гармонический сигнал с частотой f0=50 Гц и единичной амплитудой и модули комплексов его спектров, вычисленные для различных длин выборок. Сплошными линиями показаны непрерывные спектры (analog), определяемые окном выборки и полученные по выражению (2.8), столбиковыми диаграммами приведены дискретные спектры (diskret), вычисленные по выражению (2.2) для исходного дискретного сигнала. Одна из выборок принята кратной периоду сигнала, а другая содержит нецелое число периодов исходного сигнала. Значения модулей амплитуд дискретных спектральных составляющих равны соответствующим значениям непрерывного спектра, но они по-разному ориентированы относительно «лепестков» непрерывного спектра. При целом числе периодов сигнала в выборке, дискретные частоты попадают на границы «лепестков» и таким образом выделяется исходная гармоника.

Для уменьшения эффекта, связанного с конечным размером выборки (окна), вместо прямоугольного окна применяются окна, уменьшающие влияние значений сигнала на краях выборки, как это показано на рис. 25. Существует несколько оконных (взвешивающих) функций (time windowing, TW), применяемых на практике: Хемминга, Блэкмана, Хеннинга и т.д.

Рис. 25. Взвешивание с применением функции окна

 

На рис.26 приведено прямоугольное окно и окно Чебышева и показаны их Фурье-образы. Значения Фурье-образа может быть представлено в абсолютных единицах Xk или в логарифмическом масштабе 20lg(Xk). Оконная функция будет тем лучше, чем уже ширина главного «лепестка» (mainlobe width), круче спад боковых «лепестков» и меньше их амплитуда.

а) б) в)

Рис.26. Оконные функций при частоте дискретизации fs=100 Гц

Прямоугольная и Чебышевская во временной (а) и частотной (б) областях;

главный «лепесток» Чебышевской функции для 64-х и 512-ти отсчетов в выборке (в)

Для получения интерполированного преобразования более сглаженной формы (для заданного разрешения по времени и объема выборки) обычно дополняют N отсчетов исходного сигнала нулевыми значениями в L точках. В этом случае разрешение по частоте определится по соотношению Df =1/[(N+L)· Dt], что позволяет точнее идентифицировать компоненты сигнала, что показано на рис.27.

Рис.27. Улучшение частотного разрешения для прямоугольного импульса

а – исходный сигнал 16 отсчетов, б – спектр исходного сигнала

в – сигнал, дополненный 64 нулями, г – спектр модифицированного сигнала

 

На рис.28 приведен результат спектрального анализа для периодического сигнала, содержащего три гармонических с амплитудами А=10 и частотами f1=43 Гц, f2=50 Гц и f3=57 Гц, а также для периодического сигнала, содержащего одну гармонику амплитудой 3 и частотой f=50 Гц. Результат представлен на части интервала с наибольшими гармониками. Показаны спектры исходных N выборок и спектры выборок, дополненных нулевыми L отсчетами. Разрешение по частоте для исходной выборки обратно пропорционально ширине выборки Df=1/T. Поэтому точно идентифицировать частоты, разнесенные на большее значение, чем разрешение по частоте (f3-f2< df), затруднительно (рис.28 г) и д).

При недостаточной ширине исходной выборки, добавление нулевых отсчетов позволяет уменьшить частотное разрешение Df=1/(T+L· Dt). Это иногда позволяет выделить все имеющиеся гармоники (рис. 28 з). Но этот прием не позволяет выделить искомые гармоники, если ширина растекания спектра (ширина главного «лепестка»), больше чем разница частот гармоник. Добавление нулевых отсчетов не изменяет ширину «лепестков» оконной функции DfL=0=1/T. Она определяется интервалом фактической выборки сигнала Т, и для рис. 28 ж) составляет 10 Гц, в то время как гармоники разнесены на 7 Гц (f2-f1=7).

Для случая, когда в сигнале одна гармоника, то при исходном частотном разрешении, если ее частота кратна частотному разрешению, то спектр концентрируется точно на этой гармонике (рис. 28 е). Добавление же нулевых отсчетов приводит к растеканию спектра, и выявление искомой гармоники требует навыка (рис. 28 и).

 

Рис. 28. Повышение разрешения по частоте добавлением «нулевых» отсчетов

а, б, в – выборки сигналов: а – c 3-мя гармониками, интервал T=0.1 с, б - с 3-мя гармониками, интервал T=0.2; в – с одной гармоникой, интервал T=0.2;

г, д, е – спектры выборок: г – сигнала с 3-мя гармониками, частотное разрешение 10 Гц;
д – сигнала с 3-мя гармониками, частотное разрешение 5 Гц; сигнала с одной гармоникой, частотное разрешение 5 Гц;
ж, з, и – спектры выборок, дополненые нулевыми отсчетами: ж – сигнал с 3-мя гармониками, частотное разрешение 1 Гц; з – сигнала с 3-мя гармониками, частотное разрешение 0.5 Гц; сигнала с одной гармоникой, частотное разрешение 0.5 Гц

 

Наложение частот (aliasing). [47]. Частота дискретизации fs выбирается исходя из наивысшей частоты, присутствующей в исходном временном сигнале и определяется теоремой отсчетов (см. Приложение А). Если частота дискретизации недостаточна, то в спектре частот появятся искажения. Этот эффект появления ложных (кажущихся) частот называется наложением частот (aliasing). Появление кажущейся частоты пояснено на рис. 29.

Рис. 29. Наложение частот при дискретизации

Результат дискретного преобразования Фурье при недостаточной частоте дискретизации fs показан на рис. 30.

Рис. 30. Наложение частот при дискретном преобразовании Фурье

а – огибающая спектра непрерывной функции x(t); б – огибающая спектра дискретной функции для fs< fm, выделены области перекрытия; в – результирующий спектр, главный интервал разложения.

 

На рис. 31. приведен пример дискретного преобразования Фурье для сигнала, содержащего три гармоники частотой 100, 200 и 350 Гц, с амплитудами 1, 2 и 3. Выборка производилась на интервале T=50 c, что определяет частотное разрешение df=0.02 Гц. Наибольшая частота, присутствующая в сигнале fm=350 Гц, частота Найквиста fN= fm=350 Гц. При частоте дискретизации fs=1000 Гц все гармоники определены правильно, при частоте дискретизации fs=500 Гц получили ложную гармонику с частотой fL=fs-fm=150 Гц

Для того чтобы периодическое повторение спектра не изменяло спектр в главном частотном диапазоне, необходимо и достаточно, чтобы максимальные частотные составляющие fm в сигнале не превышали частоты Найквиста (fN = fs/2). Это означает, что частота дискретизации fs сигнала должна быть минимум в два раза выше максимальной частотной составляющей в спектре сигнала fm.

Другими словами, на одном периоде колебаний с частотой fm должно быть минимум две точки отсчета. Для предотвращения наложения частот следует повышать частоту дискретизации или ограничить спектр сигнала перед оцифровкой фильтрами низких частот, которые пропускают без изменения все частоты, ниже заданной, и подавляют в сигнале частоты, выше заданной. Эта граничная частота называется частотой среза фильтра и устанавливается равной половине частоты дискретизации. В инженерной практике для снижения требований к фильтрам, выделяющим главный интервал разложения, рекомендуется частоту дискретизации принимать fs ≥ 2.2∙ fm. При дискретизации с запасом fs ≥ 8∙ fm [20], допускается более широкая переходная полоса фильтра, и его реализация существенно упрощается.

Рис. 31. Спектр сигнала, содержащего наивысшую гармонику 350 Гц,
для частот дискретизации 1000 Гц и 500 Гц






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.