Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Тейлора и Маклорена
Ниже приводятся разложения в степенной ряд некоторых элементарных функций, и области сходимости полученных рядов. , (4.1) ., (4.2) ., (4.3)
, (4.4) , (4.5) , (4.6) , (4.7)
5. Примеры разложения функций в степенные ряды Пример 1. Написать первые четыре члена разложения в ряд по степеням функции Решение. Дифференцируем функцию , , . Находим значения функций , , , … в точке , , , Следовательно, Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение. Так как , то заменяя на в разложении (4.1), получим Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение. Так как то воспользовавшись формулой (4.7), в которой заменим на получим: Это разложение справедливо, если то есть 6. Некоторые приложения степенных рядов I. Приближённое вычисление значения функции Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд и , то точное значение равно сумме этого ряда при , то есть а приближённое – частичной сумме , то есть Точность этого равенства увеличивается с ростом . Абсолютная погрешность этого приближённого равенства равна модулю остатка ряда, то есть , где . Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда. Для рядов лейбницевского типа . В остальных случаях составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда. Пример. Вычислить число с точностью до 0, 001. Решение. Подставляя в формулу (4.1), получим: . Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмём слагаемых и оценим ошибку то есть Остаётся подобрать наименьшее натуральное число , чтобы выполнялось неравенство Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при Поэтому имеем Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена
где находится между 0 и В рассмотренном примере Так как то При имеем:
II. Приближённое вычисление определённых интегралов Ряды применяются также для приближённого вычисления интегралов в случаях, когда первообразная не выражается через элементарные функции или нахождение первообразной сложно. Пусть требуется вычислить с точностью до . Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд и интервал сходимости включает в себя отрезок , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций. Пример. Вычислить интеграл с точностью до Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя на в формуле (4.1): (8.1) Интегрируя обе части этого равенства на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости получим:
Получим знакочередующийся ряд. Так как а то с точностью 0, 001 имеем:
|