Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Контрольной работы 1
|
|
Рекомендуется прочитать общие методические указания прежде, чем приступить к выполнению контрольной работы.
Задача 1. В задаче требуется определить силы в стержнях фермы аналитическим и графическим способами.
К решению задачи можно приступить после изучения тем " Основные понятия и аксиомы статики", " Плоская система сходящихся сил."
Аналитический способ решения. При расчете многостержневых конструкций(ферм)необходимо ввести обозначения стержней и узлов. Обычно стержни обозначают цифрами, узлы(места соединения двух или нескольких стержней)- буквами. Так, на рис.1 узлы обозначены буквами А, В, С, D, Е, стержни- цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Порядок обозначения стержней и узлов может быть произвольным.
Рис. 1
Определение сил в многостержневых конструкциях производится последовательным вырезанием узлов. Рассматривая узел как систему сходящихся сил, пользуясь уравнениями равновесия этой системы Σ Хi=0 и Σ Yi=0, необходимо помнить, что, решая эти уравнения, можно определить только две неизвестные силы. Это условие определяет порядок вырезания узлов. Первым рассматривается узел, в котором сходятся два стержня. Таким на рис.1 является узел С. Прежде, чем приступить к расчетам, конструкцию необходимо представить в виде расчетной схемы.
Покажем расчетную схему узла С на отдельном рисунке (рис.2). Она должна быть вычерчена аккуратно и четко с нанесенными на нее силами, с указанием углов. Изображенная на рис.2 расчетная схема узла С получена следующим образом.
Рис. 2 Рис. 3
Вырезаем узел С, для чего мысленно отбрасываем связи, заменив действие стержней реакциями R1 и R2. реакция стержня направлена по его оси. Приложим к узлу С действующие на него силы: F1, R1, R2. Из них: F1 - активная сила, внешняя нагрузка, известная по модулю и направлению; R1 и R2 - численнонеизвестные реакции стержней, но пока неизвестно в какую сторону.
При расчетах ферм принято предполагать, что стержень растянут; в таком случае реакция направлена от рассматриваемой точки. Если же в результате решения та или иная из них получится отрицательной, то это значит, что предположенное направление данной реакции неправильное и, следовательно, стержень не растянут, а сжат.Для равновесия узла необходимо, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил, приложенных к нему на любые две непараллельные оси порознь равнялась нулю.
Напоминаем, что проекции силы на ось равна взятому с соответствующим знаком произведению силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью проекций. Заметим, что если оси проекций взаимно перпендикулярны, то не обязательно вычислять оба угла между линией действия силы и каждой осью проекций. В этом случае проекцию силы на одну ось можно вычислять как произведение силы на косинус острого угла между линией действия силы и данной осью, а проекцию этой же силы на другую ось- как произведение силы на синус того же угла.
Направим ось x по реакции R1, а ось у - перпендикулярно ей. Такое положение осей позволяет получить одно из уравнений равновесия с одним неизвестным, что, безусловно, облегчит решение полученной системы уравнений. Прежде чем составить уравнение равновесия, нужно нанести на расчетную схему все необходимые для проецирования углы.
Угол между реакциями R1 и R2 находим, исходя из геометрических размеров заданной конструкции(см. рис.1, а)
Из ∆ АКС следует: tg b = АК / КС = 0, 5 / 4 = 0, 125 и b =70.
Из ∆ ВКС: tg (b + a) = ВК / КС =3 / 4 =0, 75 и b + a = 370.
Таким образом, угол a = 300.
Угол между F1 и осью у равен углу b = 7 0 как углы с взаимноперпендикулярными сторонами. Составим уравнения равновесия
1) Σ Хi = 0; 2) Σ Yi = 0 системы сил, сходящихся в узле С:
Σ Хi = - R1 – R2∙ cos 300 – F1∙ cos 830 = 0;
Σ Yi = - F1∙ cos 70 – R2 ∙ cos 600 = 0.
Из второго уравнения определяем
R2 = - F1 cos 70 / cos 600 = - 10 ∙ 0, 99 \0, 5 = - 19, 8 кН.
Из первого уравнения определяем
R1 = - R2 cos 300 – F1 cos 830= 19, 8 ∙ 0, 87 - 10 ∙ 0, 12 = 16 кН.
Знак минус у значения R2 показывает, что на самом деле стержень 2 сжат силой 19, 8 кН.
Силы в стержнях соответственно равны N1 = R1 = 16 кН (растяжение), N2 = R2 = 19, 8 кН (сжатие).
Для определения сил в стержнях 3 и 4 вырезаем узел D. Расчетная схема узла D изображена на рис. 3. Направление неизвестных реакций R3, R4 принимаем от узла, считаем, что стержни растянуты. Силу R2 = 19, 8 кН направляем к узлу, так как из предыдущего расчета известно, что стержень 2 сжат. Направим ось Х по реакции R4 ось Y - перпендикулярно ей.
Угол между горизонтом и направлением силы R4 равен (b +a) = 37 0 (см. рис. 1, а). Угол, образуемый осью у и силой R3, - также 370. Рассматривая узел в состоянии равновесия, составим уравнение проекций всех действующих сил на оси
Σ Хi = - R4 – R2 + R3 cos 530 = 0;
Σ Yi = R3 cos 370 = 0.
Из второго уравнения R3 = 0. Из первого уравнения R4 = - R2 = -19, 8 кН.
В результате N3 = R3 = 0, N4 = R4 = - 19, 8 кН (стержень сжат).
Графический способ решения. Определим этим способом силы в стержнях 1 и 2. Из трех сил, действующих на узел С, известна сила F1 по модулю и направлению. Выбираем масштаб сил, например 5кН в одном сантиметре (Мсил 5 кН/см) и строим силовой треугольник (см. рис. 1.б.) Из произвольной точки а в принятом масштабе откладываем отрезок аb, равный силе F1 = 10 кН. Из начала и конца отрезка аb проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2, до их пересечения в точке с. Получаем замкнутый силовой треугольник аbс, в котором вектор аb = F1, вектор bc = R2 и вектор ca = R1.
Измерив длины сторон bc и cа (см) и умножив на масштаб 5 кН/см, находим силы в стержнях 1 и 2: N1 = R1 ≈ 16кН, N2 = R2 ≈ 20кН.
Мысленно перенеся направление найденных реакций на соответствующие стержни схемы конструкции, видим, что сила R1 направлена от узла, а это значит, что стержень растянут; сила R2 направлена к узлу и, следовательно, стержень сжат.
Задачи 2, 3, 4. К решению любой из этих задач можно приступить после проработки тем " Пара сил" и " Плоская система произвольно расположенных сил".
Необходимо твердо усвоить условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил и уметь составлять для такой системы уравнения равновесия в трех формах
1. Σ Хi = 0; Σ Yi = 0; Σ М (Fi) = 0;
2. Σ МА(Fi) = 0; Σ Мв(Fi) = 0; Σ Мс(Fi) = 0;
3. Σ Хi = 0; Σ МA (Fi) = 0; Σ Мв(Fi) = 0;
а для плоской системы параллельных сил - в двух формах
1. Σ Yi = 0; Σ МА(Fi)= 0; 2. Σ МА(Fi) = 0; Σ Мв(Fi) = 0.
Рис. 4
Особое внимание должно быть уделено изучению основных трех типов опор балочных систем и умению определять их реакции. Следует знать, что:
- шарнирно-подвижная опора препятствует лишь поступательному перемещению тела по нормали к опорной плоскости и, следовательно, накладывает на него одну связь, в соответствии с чем она символизируется одним стержнем с двумя идеальными (без трения) шарнирами на концах (рис.4, а), перпендикулярных к опорной плоскости. Реакция такой опоры проходит через центр опорного шарнира и имеет направление опорного стержня.
- шарнирно-неподвижная опора(рис.4, б, в) накладывает на тело две связи (она препятствует перемещениям вдоль обеих координатных осей).Опорная реакция проходит через центр шарнира А и содержит две составляющие, неизвестные по величине, что и символизируется двумя стержнями- носителями этих двух реакций, пересекающимися в точке А.
- защемляющая неподвижная опора (рис.4, г) не допускает ни линейных, ни угловых перемещений. Развиваемая ею реакция содержит три неизвестных. Эту реакцию можно представить как сочетание реактивного момента в опорном сечении с реакцией шарнирно-неподвижной опоры.
При составлении уравнений моментов необходимо помнить, что моментом силы относительно точки называется произведение модуля этой силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. Момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки, и отрицательным, если - против часовой стрелки. Если линия действия силы проходит через точку, относительно которой берется момент, то момент силы равен нулю.
В задача 2 требуется определить опорные реакции фермы и силы в стержнях 4, 5, 6 способом сквозного сечения.
Для решения задачи необходимо мысленно освободиться от опор, заменить их действие на ферму реакциями (рис.5). Принято обозначать реакции: направленные по горизонтали – Н, направленные вертикально V. Вместо опоры А прикладываем реакцию НА, вместо опоры В прикладываем горизонтальную Нв и вертикальную Vв составляющие реакции. В результате получаем систему произвольно расположенных сил: F1, F2, Н, Нв, Vв.
Рис. 5
Для нашей задачи наиболее удобна система уравнений
Σ Yi= 0; Σ МA (Fi) = 0; Σ Мв(Fi) = 0
Составим эти уравнения, расположив ось Y вдоль стержня 7:
Σ Yi = Vв – F1 – F2 = 0;
Σ МA (Fi) = F2 ∙ а1 + F1 ∙ l + Нв ∙ h1 = 0;
Σ Мв (Fi) = - НA ∙ h1 + F2 ∙ а1 + F1 ∙ l = 0.
Из первого уравнения находим
Vв = F1+ F2 = 10 + 10 = 20 кН;
Из второго уравнения
из третьего уравнения
Реакции НА и Нв численно равны и противоположны по направлению, что удовлетворяет уравнению Σ Хi =НА + Нв = 24 - 24 = 0. В качестве проверки найденных реакций можно составить уравнение моментов относительно какой-либо другой точки, например Е:
Реакции определены верно- их значения удовлетворяют уравнению.
Рис. 6
Для определения сил в стержнях 4, 5, 6 проведем сквозное сечение 1-1 (рис.5), разделяющее ферму на две части. Отбросим мысленно правую часть фермы, а левую изобразим отдельно (рис.6, а). Эта часть фермы находится в равновесии под действием произвольной плоской системы шести сил: трех известных
НА, НВ, VВ и трех искомых реакций R4, R5, R6. Для определения реакций R4, R5, R6 воспользуемся тремя уравнениями моментов, выбрав моментные точки, чтобы в каждое их трех уравнений вошла одна неизвестная сила. Такими точками являются пересечения двух стержней, так как моменты сил, линии действия которых проходят через точку, равняются нулю. Для данной системы сил (рис.6, а) в качестве моментных точек целесообразно выбрать:
точку A - в ней пересекаются линии сил R5 и R4; можно определить силу R6;
точку Е - в ней пересекаются линии сил R5 и R6; можно определить силу R4 (рис.6, б);
точку С, в которой пересекаются линии сил R6 и R4; можно определить силу R5 (рис.6, в).
Составим уравнение моментов всех сил, приложенных к рассматриваемой части фермы относительно точки A. Для удобства разложим силу R6 на составляющие: горизонтальную R6 соs70 и вертикальную R6 соs830 и возьмем момент каждой из них в отдельности. Так как линия действия вертикальной составляющей проходит через точку В, её момент равен нулю и в уравнение войдет момент только от горизонтальной составляющей реакции (рис.6, а).
Σ МA (Fi) = - НB ∙ h1 + R6 ∙ соs70 ∙ h1 = 0;
24∙ 2, 5 + R6 ∙ 0, 99 ∙ 2, 5 = 0.
Отсюда R6 = 24, 2 кН.
Определяем R4, составляющие которой R4 ∙ соs370 - горизонтальная и R4∙ соs530 - вертикальная (рис.6, б). Составляющие искомой реакции не обязательно показывать на рисунке, достаточно их мысленно представить и не забывать включать в уравнение
Σ МE(Fi) = НB ∙ 0, 5 ∙ h2 - НA ∙ (h1 + 0, 5 ∙ h2) + Vв ∙ а1 + R4 ∙ соs 530 ∙ а1 -
- R4 ∙ соs370 (h1 + 0, 5h2) = 0.
24 ∙ 0, 25 - 24 ∙ 2, 5 + 20 ∙ 2 + 2 ∙ R4 ∙ 0, 60 - 2, 75 ∙ R4 ∙ 0, 80= 0.
Отсюда R4 = - 20кН.
Для определения силы R5 составляем уравнение моментов всех сил относительно точки С (рис. 6, в)
Горизонтальная составляющая R5 ∙ соs540.
Вертикальная составляющая R5∙ соs360.
Σ Мс(Fi) = НB ∙ h2 – НA (h1 + h2) +R5 ∙ cos360 ∙ l – R5∙ cos54 0 (h1 + h2)+Vв∙ l = 0.
24 ∙ 0, 5 – 24 ∙ 3.0 + R5 ∙ 0, 81 ∙ 4, 0 – R5 ∙ 0, 59 ∙ 3, 0 + 20 ∙ 4, 0 = 0.
Отсюда R5 = -13, 5 кН.
Чтобы убедиться в правильности вычисленных реакций, спроецируем все силы на ось Х (или ось Y):
Σ Хi = НА - Нв + R6 ∙ cos70 + R5 ∙ cos540 + R4 ∙ cos370 =
= 24 -24 +24, 2 ∙ 0, 99 -13, 5 ∙ 0, 588 -20 ∙ 0, 809 = 24 -24+24-8, 1-16 = 0.
Следовательно, реакции определены верно. Можно было отбросить левую часть фермы относительно сечения 1-1 и рассмотреть равновесие оставшейся правой части аналогичным образом. Учащимся предоставляется право самостоятельного выбора.
В итоге стержень 4 сжат силой N4=R4= 20 кН, стержень 5 сжат силой N5=R5=13, 5 кН, стержень 6 растянут силой N6= R6= 24, 2 кН.
Задача 3. Требуется определить значение опорных реакций двухопорной балки.
Обозначим шарнирно-неподвижную опору А, шарнирно-подвижную В (рис. 7, а). Изобразим расчетную схему балки (рис. 7, б).Освобождаем балку от связей, заменяя их действие на балку опорными вертикальными реакциями VА и Vв, поскольку в данной задаче, кроме сосредоточенного момента, внешние нагрузки только вертикальные. Для удобства расчета равномерно распределенную нагрузку заменяем равнодействующеей Fq, которая равна произведению интенсивности q(кН/м) на длину участка ее приложения, т.е. Fq=q ∙ l =10 3 =30 кН.
линия действия равнодействующей проходит через середину участка занятого равномерно распределенной нагрузкой.
Рис. 7
На расчетной схеме балки (рис. 7, б) должны быть проставлены расстояния от сил до каждой из опор. Особое внимание следует обратить на расположение распределенной нагрузки на балках с консолями, чтобы избежать ошибок, часто возникающих при определении плеча силы Fq. Значение сосредоточенного момента в любое уравнение равновесия входит с тем знаком, который ему приписывается с учетом направления действия.
Для двухопорных балочных систем при определении опорных реакций самыми рациональными являются уравнения моментов относительно опор А и В. Составляем эти уравнения
Σ МА(Fi) = Fq ∙ b + М – Vв (b+c) + F(b+c+d) = 0; откуда
Σ МВ(Fi) = VА (b + с) – Fq∙ с + М + F∙ d = 0;
Так как определение реакций - первый этап расчета балки на изгиб, то его следует считать особенно ответственным. Поэтому во избежание ошибок при вычислении необходимо производить проверку найденных значений реакций. Составим уравнение проекций всех сил на ось Y
Σ Yi = VА - Fq + Vв - F = 13, 3 - 30 + 31, 7-15 = 45 - 45 = 0
Если это равенство не удовлетворяется, следовательно при определении опорных реакций была допущена ошибка.
Задача 4. Балка с защемленной опорой называется консолью Обозначим защемляещую неподвижную опору буквой А (рис.8, а). Освобождаем балку от связей, заменяя их действия на балку опорными реакциями: вертикальной реакцией V и реактивным моментом заделки М (горизонтальная реакция Н = 0, поскольку в данной задаче, кроме сосредоточенного момента, внешние нагрузки только вертикальные) (рис.8, б). Для их определения наиболее удобными являют-
ся уравнения равновесия.
Рис. 8
1. Уравнение моментов сил относительно точки заделки М = 0 - для определения реактивного момента М, так как силы V и НА, приложенные к точке А, в уравнение не войдут (их моменты относительно точки А равны нулю).
2. Σ Yi = 0 -для определения вертикальной реакции VА.
3. Σ Хi = 0 -для определения горизонтальной реакции НА.
По расчетной схеме балки (рис. 8, б) составим уравнения равновесия
Σ МA(Fi) = -МА + F ∙ а +М + Fq ∙ (b+a) = 0; отсюда
МА = F ∙ a + M + Fq (b+a) = 8 ∙ 0, 5 + 10 + 2 ∙ 1, 5 = 17 кН∙ м.
Значение М > 0, следовательно, принятое направление момента правильное.
Из уравнения Σ Yi =VА - F - Fq = 0 находим VА = F + Fq = 8+2 =10кН.
Для проверки решения удобно составить уравнение моментов относительно произвольно взятой точки, например В
Σ Мв(Fi) = - МА + М + VА ∙ l – F (b+c) - Fq ∙ c = -17+10+10 ∙ 2, 0-8 ∙ 1, 5-
- 2 ∙ 0, 5 = -30+30 = 0.
Реакции вычислены верно.
Задача 5. Перед тем как приступить к решению соответствующей задачи, следует изучить тему " Центр тяжести", твердо усвоить понятие статического момента, знать положение центров тяжести простейших геометрических фигур и уметь определить координаты центров тяжести сложных сечений, представляющих собой совокупность простейших геометрических фигур, а также сечений, составленных из стандартных профилей проката (в последнем случае необходимо уметь пользоваться таблицами ГОСТов), приведенными в приложениях 1-4.Знания и навыки по данной теме потребуются при изучении темы 2.4 " Геометрические характеристики плоских сечений."
а) Определение координат центра тяжести сечения геометрической формы рассмотрим на примере (рис.9).
Рис. 9
Положения центров тяжести фигуры сложной формы можно определить, разбив
эту фигуру на пять элементов простой формы, положения центров тяжести которых известны:
I - прямоугольник 25х30 см с центром тяжести С1;
II - прямоугольник 55х10 см с центром тяжести С2;
III - прямоугольник 25х45 см с центром тяжести С3;
IV- два треугольника с центрами тяжести С4 и C4’.
Нанесем на сечение координатные оси. Ось Y совместим с осью симметрии сечения. Ось Х проводим перпендикулярно ей по нижней грани сечения. Поскольку сечение симметрично относительно вертикальной оси и, следовательно, Хс=0, потребуется определить только ординату Yс центра тяжести по формуле Yc =Sх/А, где А - площадь сечения; Sх - статический момент сечения относительно оси Х, определяется как сумма произведений площадей простых фигур на ординаты их центров тяжести.
Определяем площади составных частей фигуры и координаты их центров тяжести относительно выбранной оси, исходя из размеров сечения.
А1 = 25 ∙ 30 = 750 см2, y1 = 70 см;
А2 = 55 ∙ 10 = 550 см2, y2 = 50 см;
А3 = 25 ∙ 45 = 1125 см2, y3 = 22, 5 см;
А4 = А4` =15 ∙ 45/2 = 337, 5 см2 y4 = y4’ = 30 cм.
Находим статический момент площади сечения
Sх = А1 y1 + А2 y2 + А3 y3 + 2 ∙ А4 y4 =
См3.
Площадь сечения
А = А1 + А2 + А4 + 2 ∙ А4 ∙ y4 = 750 + 550 + 1125 +2 337, 5 = 3100 см2
Находим ординату центра тяжести
Yc = Sх/А =125562, 5/3100 = 40, 5см.
Итак, точка С имеет координаты 0; 40, 5.
По найденной ординате наносим на рисунок сечения точку С - центр центр тяжести. Разбивку рассмотренной фигуры по элементам можно было произвести иначе, как и положение оси Х могло быть другим.
б) Определение положения центра тяжести сечения, составленного из прокатных профилей, рассмотрим на примере (рис.10).
Простые элементы подобных сечений - стандартные профили прокатной стали: швеллер, двутавр, полоса, равнобокие и не равнобокие уголки. Все необходимые размеры и характеристики профилей приведены в таблицах ГОСТа (см.приложения 1-4), называемых сортаментом прокатных профилей. Порядок решения тот же, что в предыдущей задаче.
Разбиваем сечения на шесть составных частей и обозначаем центра тяжести. Положение центра тяжести прокатного профиля принять по сортаменту:
I- двутавр N 20 с центром тяжести С1;
II - швеллер N 20 с центром тяжести С2;
III - два неравнобоких уголка N 8/5 с общим центром тяжести С3;
IV - две полосы 12 х200 мм с общим центром тяжести С4.
Рис. 10
Положение координатных осей принимаем следующим образом: ось Х совмещаем с осью симметрии сечения, следовательно yc равно нулю; ось Y проводим перпендикулярно оси Х по наружной грани стенки швеллера. Необходимо определить лишь координату центра тяжести Хс по формуле Хс= Sy/А, где Sy - статический момент относительно оси Y определяется аналогично Sх предыдущей задачи, с той лишь разницей, что в этом случае участвуют абсциссы Х1, Х2, Х3, Х4. Центров тяжести прокатных профилей. Выписываем из соответствующих таблиц сортамента площади профилей и, используя размеры, находим абсциссы их центров тяжести:
А1 = 26, 8 см2, Х1 = L полосы = 20 см;
А2 = 23, 4 см2, Х2 = Zо = 2, 07 см (см.приложение2);
А3 = 2 7, 55см2, Х3 = y0 = -2, 65см (см.приложение4);
А4 = 2 (1, 2 20)=48см2 Х4 = L полосы /2 = 10 см.
Полная площадь сечения
А = А1 + А2 + А3 + А4 = 26, 8 + 23, 4 + 15, 2 + 48 = 113, 3 см2.
Находим статический момент сечения
Sy = А1 ∙ Х1 + А2 ∙ Х2 + А3 ∙ Х3 + А4 ∙ Х4 =
= 26, 8 ∙ 20 +23, 4 ∙ 2, 07+ 15, 1∙ (-2, 65)+48 ∙ 10= 1024, 42 см3
Определяем координату центра тяжести
Хс = Sy/А = 1024, 42см /113, 3см = 9, 04см
Итак, точка С имеет координаты 9, 04; 0. Наносим найденный центр тяжести на рисунок сечения.
|
|