Неявная функция

Определение. Пусть есть уравнение (т.е. ), ставящее в соответствие каждой точке М одно или несколько значений u, удовлетворяющих этому уравнению. Тогда говорят, что это уравнение неявно определяет одну или несколько функций .

Теорема (о производной неявной функции). Пусть уравнение задает неявную функцию и , где и . Если имеется окрестность точки , такая что , , , , то = .

Доказательство (для ). Пусть переменная х ₁ получила приращение , а остальные переменные приращений не получили. Это вызвало приращение , такое что и . Следовательно, .

,

= +0+…+0+ + +

+0+…+0+ =0

+ + + =0

= .

Поскольку , то 0 0. Тогда, переходя в последнем равенстве к пределу при 0, получаем

= .

Следствие. Пусть уравнение F (x, y)=0 задает неявную функцию y = y (x) и выполняются все условия теоремы о производной неявной функции. Тогда = .