Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод наименьших квадратов






Верная, 63-значащие, 3-сомнительная)

Билет № 2

1. Действия с матрицами: сложение, вычитание, умножение на скаляр. Привести по одному примеру на действие.

2. Понятие эмпирической кривой. Способ построения. Примеры.

3. Задача.

Ответы.

1. Складывать и вычитать можно матрицы одинаковой размерности почленно:

1)Пример: Сложить матрицы и Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

2) Пример: Найти разность матриц , Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов

2. Умножение матрицы на число ( скаляр )

При умножении матрицы на скаляр, все элементы матрицы умножаются на это скаляр: (Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число.)

Пример:

Умножение двух матриц.

Умножить матрицу A размерности (m x р) на матрицу B размерности (p x n) значит найти третью матрицу С размерности (m x n) такую, что

Если А - матрица строка А=(а1, а2,...аn), а В - матрица -столбец (b1, b2,...bn)T, то C = AB = 1, а2,...аn)(b1, b2,...bn)T=a1b1+a2b2+...+anbn.

В общем случае элемент cmn. - есть сумма произведений элементов m -ой строки матрицы А на элементы n -го столбца матрицы В.

например

Замечания.

1. В общем случае

2. Умножение квадратной матрицы А порядка n на единичную матрицу Е того же порядка не изменяет матрицу А.

3. Скалярная мтрица S - может быть представлена в виде:

4. det(AB) = detA detB

2. Эмпирическая кривая - это фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение.

Теоретическая кривая распределения - это кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения.

Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными. В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута - правая или левая - различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными.

Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения.

Полигон распределения - графическое изображение дискретного вариационного ряда распределения. По оси абсцисс откладывают варианты, а по оси ординат - частоты ряда. Полученные точки соединяются прямыми линиями.

Полученная таким образом линия называется эмпирической (фактической) кривой распределения. На нее оказывают влияние как общие (отражающие основную закономерность), так и случайные условия.

Если влияние случайных величин будет погашено, то будет установлена теоретическая кривая распределения. Она выражает определенный тип распределения, отвечает на вопрос о наличии определенного закона распределения. Познание законов распределения - наиболее важная цель статистического исследования. В каждом конкретном случае закономерность распределения может быть, а может и не быть.

Под кривой распределения понимают графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант. Эмпирической (фактической) кривой распределения является полигон. Под теоретическим распределением понимают вероятностное распределение частот в наблюдаемом вариационном ряду.

В практике статистического исследования встречаются распределения: нормальное, логарифмическое, биноминальное, Пуассона и др.

В нормальном ряду распределения размах вариации R = 6 ;

=1, 25d; х = М0 = Ме. Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Так, при М0< Ме< х разности между х — М0 и х-Ме положительные и асимметрия правосторонняя, а при М 0 > Ме > х, наоборот, разно­сти между х — М0 и х- Ме отрицательные и симметрия левосторонняя

Схема 1

Правосторонняя асимметрия


> Me> Mo

Схема 2


Симметричная кривая

 

 

В симметричном распределении центральный момент третьего порядка m3 = 0, поэтому чем он больше, тем больше и асимметрия. Эта особенность и используется для характеристики асимметрий. Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе.

= Mo= Me

Чем числитель ближе к 0, тем асим­метрия меньше.

Кривые распределения имеют различную островершинность. Крутизна, островершинность кривой распределения называется эксцессом. Различают эксцессы: нормальный, выше нормального и ниже нормального

Чтобы получить эмпирическую кривую, гистограмму нужно преобразовать в полигон. Для этого каждый интервал делим на две равные части (находим середину интервала), ставим точки и затем их соединяем последовательно отрезками прямых линий.

Эмпирическая кривая позволяет предварительно предположить форму теоретической кривой распределения, характеризующую функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот.

Для построения эмпирической кривой необходимо все данные наблюдений расположить в порядке убывания, затем определить максимум.

Для построения эмпирических кривых распределения необхо­димо разбить весь полученный диапазон Xmax - Xmin на r ин­тервалов. Число интервалов при небольших выборках следует брать округленным .

Длину интервалов удобнее выбирать одинаковой. Однако если распределение имеет резкие скачки в соседних интервалах, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы.

Ширину интервала следует выбирать удобной для графических работ по отношению к делениям по оси X. Нижнюю границу первого интервала не следует брать равной Xmin, если она не соответствует удобному значению на оси X.

При обработке результатов предпочтительнее (с целью умень­шения ошибок при вычислениях) пользоваться отклонениями раз­меров, а не самими размерами. Особенно большие ошибки возни­кают при вычислении моментов второго и высших порядков.

Число результатов измерений mi, попавших в заданный i интервал по условию

называют частотой.

В неравенстве Xi результат j-го наблюдения выборки, в которой j = 1,..., n; xiВ верхняя граница i-го интервала; xiН нижняя граница i-го интервала, равная верхней границе (i- 1)-го интервала.

Результаты подсчета частот т, представить в таб. 1 где указаны границы отклонений размеров Xi от номинального раз­мера, частоты mi, средние зна­чения интервала xi и частости P*i .

Cумма частот должна быть равна числу n-количеству измерений, т. е.

Таблица 1

Номера инт-ов Границы инт-ов Частота mi Частость P*i Середина инт-ов xi
Xн XВ
           

 

Отношение частоты mi к общему числу наблюдений n назы­вают частостью и обозначают Р*i;

(1)

Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений Xi в i-й интервал. Очевидно что

Для наглядности эмпирическое распределение можно предста­вить графически в виде полигона или гистограммы распределения, а также ступенчатой функции распределения.

Гистограмму строят так: над каждым интервалом (Dx) по оси аб­сцисс строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна частости P*i в этом интервале, а высота будет пропорциональна частоте при одинаковых интервалах. При различных значениях Dx высота прямоугольника будет пропорциональна эмпирической плотности вероятностей:

Полигон строят следующим образом: на оси абсцисс отклады­вают интервалы значений измеряемой величины (Dx), в серединах ин­тервалов отмечают ординаты, пропорциональные частотам или частостям (P*i), и ординаты соединяют прямыми линиями. При выборе масштабов по осям абсцисс и ординат выдерживают соотношение

Ступенчатую функцию распределения строят следующим обра­зом: в середине каждого интервала по оси абсцисс ордината воз­растает скачком на значение, соответствующее P*i, и оттуда про­водят горизонтальную прямую до середины следующего интервала, где она снова возрастает. Высота ординаты в каждой точке соответ­ствует эмпирической интегральной функции распределения

Значение F*i для каждого интервала называют комулятивной ча­стостью, а сумму — комулятивной частотой.

С помощью гистограммы распределения можно рассчитать па­раметры распределения, пользуясь следующими формулами: для среднего арифметического: (2)

для оценки дисперсии: (3)

дисперсия характеризует степень рассеивания результатов измерений относительно истинного значения,

для оценки центрального момента третьего порядка (4)

для оценки центрального момента четвертого порядка (5)

Коэффициент асимметрии определяется по формуле: (6)

kас характеризует наклон переднего и заднего фронтов ЗРСВ.

 

Коэффициент эксцесса определяем по формуле: (7)

Эксцесс характеризует растянутость вершины, для НЗРСВ его значение равно нулю.

НЗРСВ (согласно центральной предельной теореме теории вероятности) характерен для случайных процессов, причиной такого характера рассеяния результатов является влияние множества независимых случайных слабовыраженных факторов.

Значения коэффициентов kас и kэкс близких к нулю дают основание для ут­верждения, что эмпирическое распределение мало отличается от нормального.

 

Билет № 3

 

1. Виды элементарных преобразований над матрицами.. Пример приведения матрицы к единичной.

2.

3. Определение аппроксимации. Аппроксимация эмпирических функций.

4. Задача.

Ответы.

1. Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

З а м е ч а н и я.

1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы;

2) матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются A ~ В).

Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля.

Приведите матрицу к единичной с помощью преобразований Гаусса – Жордана.

Решение. Так как , а , то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу . Умножим все элементы первой строки матрицы на : . К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0, а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4):

Переходим ко второму столбцу. Элемент полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на . К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :

Переходим к третьему столбцу. Умножим элементы третьей строки на : .

Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу.

К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-2), а к элементам первойстроки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на :

В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему (ко второму) столбцу.К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на : .

Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица.

 

 

3. Аппроксимация — приближенное решение сложной функции с помощью более простых, что резко ускоряет и упрощает решение задач.

На практике часто приходится сталкиваться с задачей сглаживания экспериментальных данных – задача аппроксимации. Основная задача аппроксимации – построение приближенной (аппроксимирующей) функции наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Аппроксимация – процесс подбора эмпирической функции φ (х) для установления из опыта функциональной зависимости y= φ (х) Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных   В простейшем случае задача аппроксимации экспериментальных данных выглядит следующим образом: Пусть есть какие-то данные, полученные практическим путем (в ходе эксперимента или наблюдения), которые можно представить парами чисел (x, y). Зависимость между ними отражает таблица:
xi x0 x1 x2 xn
yi y0 y1 y2 yn

На основе этих данных требуется подобрать функцию y=φ (x), которая наилучшим образом сглаживала бы экспериментальную зависимость между переменными и по возможности точно отражала общую тенденцию зависимости между x и y, исключая погрешности измерений и случайные отклонения. Это значит, что отклонения yi-φ (xi) в каком–то смысле были бы наименьшими.

Обычно задача аппроксимации распадается на две части: 1. Сначала устанавливают вид зависимости y=f(x) и, соответственно вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. 2. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим. Иной подход к решению задачи аппроксимации: · Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции   · После выбора вида формулы определяют ее параметры. Для наилучшего выбора параметров задают меру близости аппроксимации экспериментальных данных. Во многих случаях, в особенности если функция f(x) задана графиком или таблицей (на дискретном множестве точек), для оценки степени приближения рассматривают разности f(xi)-φ (xi) для точек x0, x1, …, xn.

Возможны следующие варианты функций: · Линейная - y=ax+b. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.· Полиномиальная - y=a0+a1x+a2x2+…+anxn, где до шестого порядка включительно (n? 6), ai- константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени можно описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени - не более трех экстремумов и т.д.· Логарифмическая - y=a·lnx+b, где a и b - константы, ln - функция натурального логарифма. Функция применяется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.· Степенная - y=b·xa, где a и b - константы. Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.· Экспоненциальная - y=b·eax, a и b - константы, e - основание натурального логарифма. Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.((((Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R2). Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1).)))

Приближение функции более простой функцией называется аппроксимацией (от латинского approximo – приближаюсь). Аппроксимирующую функцию строят таким образом, чтобы отклонения (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Понятие “малого отклонения” зависит от того, каким способом оценивается близость двух функций, поэтому оно будет уточняться в дальнейшем при рассмотрении конкретных методов аппроксимации.. Непрерывная аппроксимация. Если исходная функция задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке . Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным.

Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции было по абсолютной величине меньше заданной величины : , .

В этом случае говорят, что функция равномерно приближает функцию с точностью e на интервале . Практическое получение равномерного приближение представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях.

Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина .Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию , получают уравнения, позволяющие найти наилучшие (в указанном смысле) значения этих параметров.

Точечная аппроксимация. Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек , называется точечной.

Для получения точечного среднеквадратичного приближения функции , заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины , где – значения функции в точках .

Основная сфера применения среднеквадратичного приближения – обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул).. Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках , те же значения , что и функция , т.е. , .

 

В этом случае, близость интерполирующей функции к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.На рис. 4.1. показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичногоприближе­ния (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции .

Билет № 4

 

1. Понятие определителя матрицы. Свойства определителя. Нахождение определителя различными способами.

2. Понятие минимального отклонения теоретической кривой от расчетной.

3. Задача.

Ответы.

1. Определитель может быть только у квадратной матрицы.

1)Определитель - число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу

2) Определитель матрицы это сумма всевозможных произведений элементов матрицы по одному элементу из каждой строки и столбца, с учетом знака. (в силу отсутствия острой необходимости, и громоздкости общей формулы, она не будет приведена, вместо это предлагается ипользовать методы описанные ниже, т.к. они проще и удобней)

  • Свойства определителя:
  • Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.
  • При транспонировании матрицы ее определитель не меняется
  • Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель
  • Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
  • При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
  • Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
  • Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
  • Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
  • Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
  • Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
  • Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
  • Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
  • Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
  • С использованием индексной нотации определитель матрицы 3× 3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

Способ 1 (Разложение по i-ой строке) Суть данного метода в следующем:

1. Поочередно берутся элементы выбранной строки.

2. Затем из определителя вычеркиваются (мысленно) выбранная строка и столбец, выбранного элемента

3. Вычисляется определитель, уже меньшего порядка

4. Полученное число домножается на выбранный элемент и коэфициент

5. Далее все полученные значения суммируются.

Примеры определитель 2-го порядка: определитель 3-го порядка: Разложение в данном примере происходит по второй строке. Сначала вычеркивется первый столбец и вторая строка, из оставшихся компонент определителя составляется определитель второго порядка, и паралельно домножается на число, через которое провели пересечение, и на -1, т.к. 1(номер столбца) и 2(номер строки) дают нечетное число, а -1 в нечетной степени равно -1. Аналогичные действия производятся с оставщимися членами строки.

Способ 2 (Разложение по j-ому стролбцу)

Аналогичен способу 1, в силу свойства 5. Транспонируем матрицу и Находим ее определитель, раскладывая по j строке

Самый удобный и быстрый способ. – приведение к треугольной матрице-!!!!! ее определитель равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение

 

2.

 

Билет № 5

 

1. Понятие обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы. Пример.

2. Линеаризация функций. Линеаризация экспоненциальной функции. Пример.

3. Задача.

Ответы.

Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A− 1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

(- Обратные матрицы существуют только для квадратных матриц)

Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n, то определитель их произведения равен произведению определителей матриц-сомножителей:

Определение обратной матрицы: Матрица В называется обратной для матрицы А, если А и В перестановочны и А*В=В*А=ЕОбозначение обратной матрицы:

 

  • , где обозначает определитель.
  • для любых двух обратимых матриц и .
  • где обозначает транспонированную матрицу.
  • для любого коэффициента .
  • Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .

  1. Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).

 

  1. Строим - матрицу из алгебраических дополнений элементов .

 

  1. Транспонируем матрицу , тем самым получаем .

 

  1. Умножаем каждый элемент матрицы на число . Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы .

 

  1. Проводим проверку результата, вычисляя произведения и . Если , то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

.

 

2. Линеаризация функций применяется для нахождения пределов в точке, при построении графиков функций, для решения уравнений. Суть метода состоит в том, что в окрестности какой-либо точки, в которой функция f (x) непрерывна и дифференцируема нужное количество раз, ее можно заменить ее касательной f (x0) + f' (x0) · (x – x0). Чем ближе к x0 находится точка x, тем больше точность данного приближения.

Линеаризация — (от лат. linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов, причём, если система переходит с одного режима работы на другой, следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.

Методы линеаризации

  1. Метод логарифмирования — применяется к степенным функциям;
  2. Метод обратного преобразования — для дробных функций;
  3. Комплексный метод — для дробных и степенных функций.

В тетради.

- разложение

 

 

Билет № 6

 

1. Составление системы линейных алгебраических уравнений. Связь между СЛАУ и матрицей. Пример.

2. Суть метода наименьших квадратов. Формулы расчета коэффициентов линейной функции. Пример.

3. Задача.

Ответы.

1. Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными (p может быть равно n) вида - неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), - свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид ,

где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица-столбец свободных членов.
Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,


Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество .
Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.
Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

2. Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

оставить систему линейных уравнений по следующим матрицам: , .

Матричное уравнение исходной системы ,

.

Согласно определению равенства матриц получим

 

Метод наименьших квадратов

На практике чаще всего применяется следующий метод аппроксимации опытных данных – метод наименьших квадратов (МНК). Сущность метода состоит в том, что опытные данные аппроксимируют кривой F (x), которая необязательно должна проходить через все узлы, а должна сгладить все случайные помехи табличной функции. При этом аппроксимирующую кривую F (x) стремятся провести так, чтобы все ее отклонения от табличной функции (уклонения) были минимальными.


ε 0 = F (x 0) – y 0
ε 1 = F (x 1) – y 1
ε i = | F (x i) – yi |

Избавимся от знака уклонения: возведем его в квадрат.

ε i 2 = (F (xi) – yi)2






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.