Тема 4. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.

К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми , , и кривой . Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше оси берётся со знаком «+», и ниже её – со знаком «» и называется определённым интегралом от функции на отрезке . Определённый интеграл обозначается , где числа , называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определённый интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является её непрерывность на данном отрезке. Если функция интегрируема на , то, по определению, полагают , .

Основные свойства определённого интеграла:

1.. 2..

3..

Понятие определённого интеграла тесно связано с понятием неопределённого интеграла (первообразной).

Если функция непрерывна на отрезке и - одна из её первообразных, то справедливо равенство:

(формула Ньютона-Лейбница).

Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются формулы замены переменной: и интегрирования по частям в определённом интеграле. При замене переменной в определённом интеграле в отличие от вычисления неопределённого не нужно возвращаться к исходному аргументу, так как преобразованный определённый интеграл берётся по тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент.

При вычислении неопределённого интеграла по умолчанию предполагалось, что первообразная находится на тех промежутках, на которых выполняемые преобразования подынтегральной функции являются тождественными. При вычислении же определённого интеграла первообразная находится на заданном отрезке, поэтому здесь уже необходимо следить за тождественностью выполняемых преобразований.

Площадь фигуры (рис.1) , равна

.

Площадь фигуры (рис.2) , равна

.

Рис.1 Рис.2

Если функция интегрируема на отрезке , то несобственным интегралом по бесконечному промежутку интегрирования от функции на промежутке называется и обозначается , т.е. . Аналогично: .

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Тема 5. Случайные события и их вероятности.

При классическом определении вероятность случайного события определяется равенством , где - число элементарных исходов эксперимента (опыта, испытания), благоприятствующих появлению события ; - общее число равновозможных элементарных исходов эксперимента. Каждый из исходов (далее неделимых и взаимно исключающих друг друга) эксперимента называется его элементарным исходом (элементарным событием) и обозначается . Элементарные исходы называются равновозможными, если в силу условий проведения эксперимента можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Множество всех элементарных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов и обозначается . Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечёт за собой наступление такого события.

Противоположным событию называется событие , состоящее в том, что событие не происходит. Например, противоположным событию, определяемому словами «хотя бы один…» является событие, определяемое словами «ни один…». Если вероятность известна или легко может быть найдена, то вероятность вычисляют по формуле: .

Для вычисления общего числа элементарных исходов и числа элементарных исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, широко используются правила и формулы комбинаторики. Одной из основных задач комбинаторики является подсчёт числа комбинаторных конфигураций (комбинаций элементов), образованных из элементов некоторых конечных множеств в соответствии с заданными правилами. Примерами таких комбинаций являются перестановки, размещения и сочетания.

Сочетаниями из элементов по называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в одновременном выборе без возвращения любых элементов из различных элементов, а их общее число определяется формулой:

, где , .

Размещениями из элементов по называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга как составом элементов, так и порядком их следования. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего сначала в одновременном выборе без возвращения любых элементов из различных элементов, а затем в произвольном их упорядочивании. Общее число размещений определяется формулой: .

Перестановками из элементов называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только порядком их следования. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в произвольном упорядочивании множества, состоящего из различных элементов, а их общее число определяется формулой .

Для подсчёта числа всевозможных комбинаторных конфигураций широко используются правила комбинаторики.

Пусть - элементы (действия) из некоторого конечного множества элементов (действий), которые можно выбрать (выполнить), соответственно, способами. Тогда справедливы следующие правила.

Правило сложения. Осуществить выбор (выполнение) только одного из элементов (действий) можно способами.

Правило умножения. Осуществитьпоследовательный выбор(выполнение) всех элементов (действий) можно способами.

Всякое случайное событие можно рассматривать как подмножество (обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет), состоящее из всех тех , которые благоприятствуют событию (). Множество называют достоверным событием, а пустое множество , являющееся по определению подмножеством , называют невозможным событием.

Если , то говорят, что событие влечёт событие .

Произведением событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события и . События и называют несовместными, если .

Суммой событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий или .

Разностью событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие , но не происходит событие . Событие , происходящее тогда и только тогда, когда событие не происходит, называют противоположным событию . Разность событий всегда можно представить в виде .

Из определения вероятности следуют следующие её свойства:

1) ; 2) ; 3) ; 4) Если , то ;

5) ; 6) .

Пусть и - наблюдаемые события в эксперименте, причём . Условной вероятностью осуществления события при условии, что событие произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством: .

События и , имеющие ненулевую вероятность, называются независимыми, если выполняется равенство или , в противном случае события и называются зависимыми.

Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:

1) , ;

2) (для независимых событий)

и формул сложения вероятностей:

3) ;

4) (для несовместных событий).

Пусть - наблюдаемые события для данного эксперимента, попарно несовместные ( при ) и образующие полную группу событий (). Такие события принято называть гипотезами по отношению к событию . Тогда для любого наблюдаемого в эксперименте события имеет место формула полной вероятности:

, где .

Пусть - совокупность гипотез по отношению к событию , безусловные вероятности которых , называемые априорными (доопытными), известны и пусть стало известно, что в результате эксперимента событие произошло. Тогда апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез при условии, что событие имело место, вычисляются по формуле Байеса:

, где .

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность каждой из гипотез после поступления дополнительной информации относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий.

Схемой Бернулли называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям: 1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов: «успех» (появление некоторого события ) и «неудача»; 2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность «успеха» в каждом следующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний; 3) вероятность «успеха» во всех испытаниях одинакова и равна .

Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно «успехов», определяется формулой Бернулли:

, .

Следствием формулы Бернулли является формула: - вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли «успех» наступит хотя бы один раз.

Тема 6. Случайные величины.

Под случайной величиной понимают величину, принимающую свои возможные значения в зависимости от исхода эксперимента, с которым она связана.

Законом распределения (вероятностей) случайной величины называют любое правило, позволяющее найти вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого подмножества своих возможных значений. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины называется функция действительной переменной , , определяемая формулой .

Каждая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) , ; 2) не убывает;

3) , ; 4) непрерывна слева.

Вероятность события определяется формулой:

.

Случайная величина называется дискретной случайной величиной (ДСВ), если множество её возможных значений конечно или счётно, причём , , где суммирование распространяется на все возможные значения .

Закон распределения ДСВ удобно задавать рядом распределения. Рядом распределения ДСВ называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности . Для наглядности закон распределения ДСВ изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число , если ряд сходится абсолютно.