Оценка точности косвенных измерений

Как быть, если х определяется не прямым измерением, а косвенным, т. е. по результатам измерений других величин у и z? Пусть х является некоторой функцией у и z, т. е. х = f (у, z). Тогда наилучшее значение при оценке х равно

, (0.7)

где и находятся по формуле (0.3). Как же найти Δ х, если известны Δ у и Δ z? Так как сами величины у и z находятся путем прямых измерений, то их погрешности Δ у и Δ z можно оценить по формулам (0.4) и (0.5).

Заметим, прежде всего, что Δ х = х – ; следовательно, простой оценкой для Δ х является разность

, (0.8)

т. е. ошибка косвенного измерения находится через ошибки прямых измерений по правилу дифференцирования. Часто этой оценки оказывается достаточно. Здесь дf/ду и дf/дz – частные производные по у и z, взятые при значениях у = , z = .

Часто удобно выражать точность, с которой найдено х, через относительную погрешность ε _x. По определению,

, (0.9)

где – рассчитывают по формуле (0.3). Относительная погрешность, очевидно, является безразмерной величиной.

Рассмотрим практически важный случай, когда х является степенной функцией у и z:

х = f (у, z) = у^m zⁿ, дf/ду = m у^{m- 1} zⁿ, дf/дz = n у^m z^{n- 1}.

(т и п могут быть целыми или дробными, больше или меньше нуля).

Относительная погрешность равна

. (0.10)

Из соотношения (0.10) следует важный вывод: при измерениях необходимо наиболее точно определить значение величины, входящей в расчетную формулу с наибольшим по модулю показателем степени.

Приведем простейшие случаи расчета предельных погрешностей результата косвенного измерения величины Y.

1. Пусть Y = А + В, а предельные абсолютные погрешности прямого измерения величин А и В соответственно равны Δ А и Δ В (это или погрешности измерительной аппаратуры, или результат расчета).

Тогда

Y ± Δ Y = (А ± Δ А) + (В ± Δ B).

Очевидно, наиболее невыгодный случай тот, когда Δ А и Δ B будут одинаковы по знаку, например + Δ А и Δ B, тогда предельная абсолютная погрешность результата равна

± Δ Y = Δ А и Δ B, а предельная относительная погрешность

.

2. Пусть Y = АВ, тогда

Y ± Δ Y = (А ± Δ А) (В ± Δ B) = АВ ± А Δ В ±Δ АВ. Полагая Δ А Δ В малыми, получаем

.

3.Пусть Y = Аⁿ. Предельная относительная погрешность равна

.

а предельная абсолютная погрешность

.

4. Пусть Y = sin α. Тогда

Y ± Δ Y = sin (α ± Δ α). Положим, что Δ α мало. В этом случае sin Δ α ≈ Δ α. Следовательно,

Y + Δ Y = sin α + Δ α cos α, и тогда .

Если в расчетные формулы входят константы, например число π, физические постоянные, табличные данные, то они берутся с такой точностью, чтобы число значащих цифр в них было на единицу больше, чем число значащих цифр в значениях измеряемых величин. Тогда константы практически не вносят погрешностей в результат измерений.