Невыгодное загружение линий влияния

Пусть дана линия влияния какого либо фактора (рис. 3), тогда на основании теоремы, приведенной выше, имеем

(1)

(2)

Вычтем из выражения (2) значение фактора (1):

(3)

Согласно рис. 3 имеем

Δ y_i = Δ x tg α _i,

где i =1, 2, 3. Подставляя Δ y_i в формулу (3), получаем

(4)

Предположим, что на рис. 4 изображен график изменения S_k. Рассмотрим точку S_{k, max}. Если Δ x > 0, то получаем, что S_k уменьшается, т.е. Δ S_k < 0. Следовательно, формула (4) дает

(5)

Если же Δ х < 0, то S_k тоже уменьшается или Δ S_k < 0, а из формулы (4) получаем:

Чтобы меняла знак необходимо, чтобы при сдвижке грузов менялись значения R_i. Это возможно, когда один из грузов находится в вершине линии влияния. Этот груз называют критическим. Задачу решают методом попыток, т.е. постепенно все грузы ставят на вершину линии влияния.

Рассмотрим треугольную линию влияния (рис. 5). Систему грузов F_i установим так, чтобы один из грузов был в вершине. Тогда

Пусть грузы переместились вправо, тогда на основании условия (5) запишем:

R _левtg α ₁ – (R _пр + F _кр)tg α ₂< 0, или

R _левtg α ₁ – (Σ F – R _лев)tg α ₂< 0,

или R _лев(tg α ₁ + tg α ₂) < Σ F·tg α ₂. (7)

Согласно рис. 5 имеем:

tg α ₁ = h/a, tg α ₂ = h/b.

Подставим эти значения в формулу (7): R _лев(h/a + h/b) < h Σ F/b, откуда находим:

R _лев< a Σ F/l. (8)

Рассмотрим сдвижку грузов влево, тогда на основании формулы (6) получаем

R _левtg α ₁ + F _крtg α ₁> R _прtg α ₂, или (R _лев + F _кр)tg α ₁> (Σ F – R _лев - F _кр)tg α ₂,

или (R _лев + F _кр)(tg α ₁ + tg α ₂) > Σ F·tg α ₂.

Окончательно из последнего выражения определяем

R _лев + F _кр> Σ F (a/l). (9)

В общем случае задача решается в следующем порядке:

1) по всей длине l находят Σ F; 2) проверяют выполнение неравенств (8) и (9); 3) если эти неравенства не выполняются, то берут за F _кр другую силу F_i, и одновременно проверяют не меняется ли Σ F.

Плоские статически определимые фермы.Классификация ферм.