Математическое описание функционирования объекта

Рисунок 7. Упрощённое представление датчика ускорения

На кремниевой подложке формируется чувствительный элемент, закреплённый на упругих подвесах. При работе датчика, он приводится в колебательное движение вдоль оси чувствительности за счёт взаимодействия переменного магнитного поля токопроводящих полосок и магнитного покрытия. При этом момент прохождения чувствительного элемента через ось центра фиксируется фотоприёмником. Дополнительно, для усиления магнитного поля в конструкцию может вводиться магнитопровод.

В зависимости от варианта конструкции, оптопар светоизлучатель-фотоприёмник может быть несколько, упругие подвесы, магнитное покрытие и токопроводящие полоски могут быть иной формы и конструкции, а также располагаться с обеих сторон чувствительного элемента.

Идея работы датчика заключается в том, что при воздействии внешнего ускорения вдоль оси чувствительности, колебания чувствительно элемента смещаются и скважность импульсов, идущих с фотоприёмника, изменяется.

При построении математической модели датчика, его можно представить в виде пружинного маятника: при этом, в качестве пружины выступают упругие подвесы, а в качестве груза – чувствительный элемент, совершающий колебания.

Уравнение движения пружинного маятника можно записать в виде:

, (1)

где x – положение чувствительного элемента;

с – коэффициент затухания колебаний;

m – масса чувствительного элемента (сюда входит и масса магнитного покрытия);

k – жесткость упругих подвесов;

f(x) – внешняя воздействующая сила (в случае датчика это взаимодействие электромагнитных полей токопроводящих полосок и магнитного покрытия).

Собственная частота колебаний пружинного маятника:

. (2)

Взаимодействие электромагнитных полей токопроводящих полосок и магнитного покрытия осуществляется за счёт сил Ампера:

, (3)

где dF – сила, действующая на проводник в магнитном поле;

j – плотность тока;

B – индукция магнитного поля;

dV – элемент объёма проводника.

Индукция магнитного поля в месте расположения токопроводящих полосок вычисляется, исходя их геометрических размеров магнитного покрытия и его остаточной индукции. Например, для цилиндрического магнита формула имеет вид:

, (4)

где Br – остаточная индукция магнитного покрытия;

d – расстояние вдоль центральной оси магнита до токопроводящих полосок;

l – толщина магнитного покрытия;

r – радиус магнитного покрытия, нанесённого в виде цилиндра.