Критерий Пирсона.

Выборка.

Табл. 3.3

Найдём x _min = –2, 74 и x _max = 2, 61. Размах выборки, согласно (180), будет равен R = x _max – x _min = 5, 35. Ширина интервала, вычисленного по (181) и округлённая до чётного значения сохраняемого числа, принимает значение c = R / k ≈ 0, 54. Далее, оперируя формулой (182), вычисляем границы интервалов

x _{j +1} = x _j + c,

(колонка 2, Табл. 3.4). В колонках 3 и 4 той же таблицы для каждого интервала зафиксированы выборочные наблюдённые и накопленные частоты:

ν _j = _{xi [x j ; x j +1[}, (183)

N_j = = N_{j -1} + ν _j. (248)

В 5 -ой колонке вычислены эмпирические значения статистической функции распределения, соответствующие частотам, накопленным к j -му интервалу:

F _j = N_j / n. (249)

Соседняя, 6 -ая колонка включает значения гипотетической (стандартной нормальной) функции распределения F (t), определяемой по границам ξ = t:

F (t) = ^– dt. (78)

Последняя, 7 -ая колонка содержит абсолютные значения разностей Φ _j – F_j.

Табл. 3.4

Максимальное абсолютное значение такой разности принимаем за эмпирическое значение критерия Колмогорова-Смирнова:

D _Э = |Φ _j - F_j | = 0, 0215.

Критическое значение критерия на уровне значимости a = 0, 05 определяем по формуле (246) или (247). Для выборки объёмом в 120 элементов оба результата совпадают в пределах 0, 001:

D _T = 0, 124.

Итак, нулевая гипотеза H ₀ = { X N (E (X) = 0; s _x = 1)} не отвергается, поскольку неравенство D _Э > D _T не выполнено.

Таким образом, параметры генератора стандартных нормальных чисел { E (X) = 0; s _x = 1 }, построенного с использованием ЦПТ, можно признать не противоречащими выдаваемым результатам.

Критерий Пирсона.

Как было отмечено в начале раздела 3.3.1, можно анализировать отклонения выборочных частот n _j статистического ряда от гипотетических частот для тех же интервалов n_j = p_j · n. В качестве меры расхождения выборочных и гипотетических частот К. Пирсон, как это изложено в [19], опираясь на принцип наименьших квадратов, предложил вычислять величину

, (250)

которая, при , имеет распределение c² с r = k – 1 степенью свободы, где k – число интервалов статистического ряда. Это справедливо в предположении, что гипотетическая функция распределения F ₀ полностью определена, т.е. в её выражении не содержится никаких неизвестных параметров.

На практике мы сталкиваемся с двумя нарушениями теоретических предпосылок вывода Пирсона:

1) отдельные интервалы содержат менее десяти частот n_j;

2) гипотетическая функция распределения F ₀ определена с точностью до оценок её m параметров, найденных по выборке.

Первое нарушение можно исправить, объединив s малообъёмных интервалов с соседними, для того, чтобы расширенные интервалы имели не менее десяти частот n_j. Некоторые авторы [14] смягчают это требование до пяти единиц. Естественно, что число интервалов уменьшится и станет равным = k – s.

Второе нарушение предложил учитывать Р. Фишер [19]. Для важного класса методов оценивания m параметров генеральной совокупности по выборке необходимо дополнительно уменьшать число степеней свободы критерия c² _r на количество оцениваемых параметров: r = – m – 1.

Эмпирическое значение критерия Пирсона , найденное по формуле (250), сопоставляется с теоретическим значением , представляющим собой двухсторонний доверительный интервал, нижняя и верхняя границы которого – это квантили распределения c² с r степенями свободы:

= [ ; ]. (251)

Нулевая гипотеза (242) отвергается, когда

. (252)

Задача 3.28. Для простой выборки, объёмом 120 элементов, приведённой в таблице 3.3, проверить по критерию Пирсона нулевую гипотезу о нормальности генеральной совокупностиH ₀ = { X N (E (X) = ; s _x = s)} против альтернативной гипотезы H _a = { X N (E (X) = ; s _x = s)}. Параметры генеральной совокупности и s оценить по статистическому ряду.

Преобразование выборки (Табл. 3.3) в статистический ряд выполняем аналогично тому, как это было сделано в Задаче 3.27, и размещаем результаты в Табл. 3.5. Первые три колонки обеих таблиц идентичны.

Табл. 3.5

Ин-терв.	Грани-цы	Эмпир.	Сред.	Центр.	ЦСМ1	ЦСМ2	Норм. границы	Гипот. ФР	Гипот. част.	Пирс2
част.	интерв.	сред.
j	x	n	x(ср.)	d	n· d	n· d2	t	F (t)	n	c2
	-2, 76						-2, 73	0, 0000
			-2, 49	-2, 50	-5, 0	12, 5			1, 7
	-2, 22						-2, 20	0, 0139	5, 7	1, 6
			-1, 95	-1, 96	-2, 0	3, 8			4, 1
	-1, 68						-1, 67	0, 0477
			-1, 41	-1, 42	-19, 9	28, 3			9, 7	20, 3
	-1, 14						-1, 14	0, 1282
			-0, 87	-0, 88	-15, 0	13, 2			17, 4	16, 6
	-0, 60						-0, 60	0, 2732
			-0, 33	-0, 34	-8, 2	2, 8			23, 8	24, 2
	-0, 06						-0, 07	0, 4717
			0, 21	0, 20	4, 4	0, 9			24, 7	19, 6
	0, 48						0, 46	0, 6776
			0, 75	0, 74	15, 5	11, 4			19, 4	22, 7
	1, 02						0, 99	0, 8397
			1, 29	1, 28	12, 8	16, 3			11, 6	8, 6
	1, 56						1, 53	0, 9364
			1, 83	1, 82	12, 7	23, 1			5, 3
	2, 10						2, 06	0, 9802	7, 6	10, 6
			2, 37	2, 36	4, 7	11, 1			2, 4
	2, 64						2, 59	1, 0000
			=	0, 012	0, 00	1, 030	= s2		c2эмп=	4, 2
					s =	1, 015	c2т = [	0, 8	12, 8	]

Для оценивания параметров E (X) и σ _x гипотетического распределения вычисляем середины интервалов

= (x _j +x _{j +1}) / 2 (253)

и размещаем результаты в колонке 4.

Оцениваем первый параметр гипотетического распределения – E (X):

= () / n = 0, 01. (186)

В колонке 5 выполнено центрирование средин интервалов:

, (254)

значения которых используются для нахождения центральных статистических моментов:

= () / n. (187)

Промежуточные вычисления для центральных статистических моментов первого и второго порядков (r =1; 2) заносим в колонки 6 и 7.

Центральный статистический момент первого порядка контролирует правильность нахождения среднего статистического:

= () / n. = 0. (255)

Оценка второго параметра нормального распределения σ _x, найденная с помощью формулы (187), близка к единице: = s = 1, 015.

Нормированные границы t (колонка 8) находят по формуле

t = (x – a) / b, (67)

используя в качестве параметров a и b их статистические оценки: и = s. Значения стандартной нормальной функции выбирают из Приложения Л и вписывают в колонку 9. Для упрощения первую и последнюю границы открывают на минус и плюс бесконечность, соответственно: F (t ₁ = – ∞) = 0 и F (t_{k +1} = =∞) = 1. В колонке 10 располагают значения гипотетических интервальных частот:

n_j = [ F (t_{j +1}) – F (t_j)]· n, (256)

Последняя, 11 -ая колонка – это слагаемые «уменьшаемого» второго варианта предложенной выше формулы (250) критерия Пирсона:

(257)

В соответствие с ограничениями, накладываемыми на использование этого критерия (см. начало данного параграфа), гипотетические и, как следствие, эмпирические частоты 1 -го и 2 -го, а также 9 -го и 10 -го интервалов были объединены. Общее число интервалов k ¢ уменьшилось до 8 -ми. Эмпирическое значение критерия Пирсона оказалось равным = 4, 2.

Теоретические значения того же критерия на уровне значимости a= 0, 05 оказались равными

= [0, 8; 12, 8]. (258)

Окончательное решение по проверяемой гипотезе выглядит следующим образом: «Нулевая гипотезаH ₀ = { X N (E (X) = = 0, 012; s _x = s =1, 015)} не отвергается, так как ».

3.3.2 Гипотезы о равенстве дисперсий.